- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
6. Понятие сложной функции.
Пусть функция определена на некотором множестве , а на множестве значений этой функции определена функция , тогда функция называется сложной функцией от переменной , а переменная - промежуточной переменной сложной функции.
Замечание. Функцию называют также композицией или суперпозицией функций и .
Пример. сложная функция, представляет собой суперпозицию или композицию двух функций и .
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.7. (Теорема о непрерывности сложной функции). Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
Доказательство. Возьмём из области определения функции произвольную последовательность , сходящуюся к точке . Тогда в силу непрерывности функции в точке имеем: , т.е. соответствующая последовательность , где
сходится к . В силу непрерывности функции в точке
Следовательно, предел функции в точке равен её значению в этой точке, что доказывает непрерывность функции в точке .
Приведём в качестве примера рассмотренную выше функцию . Эта функция непрерывна в каждой точке действительной прямой , т.к. функция непрерывна в любой точке , а функция непрерывна в точке .
7. Понятие обратной функции.
Пусть функция определена на множестве . Пусть для каждого y из области значения функции существует единственная точка из множества , такая, что . Тогда каждому элементу множества можно поставить в соответствие единственный элемент , такой, что .Следовательно, можно говорить о некоторой функции с областью определения и областью значений .
Эту функцию назовём обратной к функции и обозначим . Итак, если , то . Очевидно, что обратной к функции будет функция .
Функция, определённая на множестве , называется неубывающей (невозрастающей) на множестве , если для любых , удовлетворяющих условию , справедливо неравенство . Неубывающие и невозрастающие функции называют монотонными функциями.
Если для любых , удовлетворяющих условию , справедливо неравенство , то функция называется возрастающей (убывающей) на множестве . Возрастающие и убывающие функции называют также строго монотонными функциями.
Примеры. Функция является строго возрастающей на всей числовой прямой функцией.
Функция является неубывающей на всей числовой прямой функцией.
Теорема 5.8 . (Теорема о непрерывности обратной функции). Пусть функция определена, возрастает (убывает) на некотором сегменте и пусть . Тогда на сегменте (или ) определена обратная функция , которая возрастает (убывает) и непрерывна на сегменте ( ).
Без доказательства.
Непрерывность простейших элементарных функций.
Простейшими элементарными функциями обычно называют следующие функции: (где - постоянное вещественное число), (где ),
.
Представление об этих функциях и об их графиках читатель имеет из курса элементарной математики.
Наша основная задача – выяснение вопроса об непрерывности всех простейших элементарных функций во всех точках областей их определения.
Строгое математическое выяснение этих вопросов не является простым и выходит за рамки настоящего курса. Поэтому мы вынуждены будем приводить некоторые утверждения без доказательства.
1. Показательная функция непрерывна в каждой точке бесконечной прямой . При этом функция возрастает при и убывает при . Областью изменения функции является множество . Графики функции при и при изображены на рис.1 и 2.
2. Логарифмическая функция. Так как на произвольном сегменте бесконечной прямой функция непрерывна и возрастает при (убывает при ), то в силу теоремы 5.8, для этой функции существует на сегменте при ( при
) обратная функция , которая непрерывна и возрастает на сегменте при (непрерывна и убывает на сегменте при ). Эта функция называется логарифмической и обозначается символом .
Поскольку левый конец мы можем неограниченно приближать к , а правый конец неограниченно приближать к , то в силу равенств , справедливых при , функция будет определена и непрерывна на всей открытой полупрямой и будет на этой полупрямой возрастать при (убывать при ). Меняя для этой функции обозначение аргумента на , а обозначении функции на , мы получим логарифмическую функцию , которая определена и непрерывна на открытой полупрямой и на этой полупрямой возрастает при (убывает при )
Графики логарифмической функции для и изображены на рис. 3 и 4.
3. Обратные тригонометрические функции. Так как функция непрерывна и возрастает на сегменте и имеет множеством своих значений сегмент , то в силу теоремы 4.7 на сегменте определена обратная функция , которая непрерывна и возрастает на этом сегменте. Меняя для этой функции обозначение аргумента на , а обозначении функции на , мы придём к функции , непрерывной и возрастающей на сегменте .
Аналогично устанавливается, что функция , обратная к непрерывной и убывающей на сегменте функции , является непрерывной и убывающей на сегменте .
Функция , обратная к непрерывной и возрастающей на интервале функции , является непрерывной и возрастающей на бесконечной прямой ; функция , обратная и непрерывная к непрерывной и убывающей на интервале функции , является непрерывной и убывающей на бесконечной прямой .
Графики обратных тригонометрических функций изображены на рис. 5 – 8.
4. Степенная функция. Пусть - произвольное фиксированное вещественное число, - некоторое вещественное число, большее единицы.
Пользуясь основным логарифмическим тожеством , представим степенную функцию в виде:
т.е. как сложную функцию вида , где .
Так как , то функция возрастает на полупрямой и потому функция
возрастает при и убывает при на этой полупрямой. Отсюда и из того, что функция возрастает на всей прямой вытекает, что степенная функция возрастает при и убывает при на полупрямой .
Далее, из того, что функция непрерывна в каждой точке полупрямой , а функция непрерывна в каждой точке бесконечной прямой и из теоремы 5.7 о непрерывности сложной функции вытекает, что степенная функция непрерывна в каждой точке полупрямой .
На рис. 9 изображены графики функции для различных значений .