Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1.doc
Скачиваний:
42
Добавлен:
03.08.2019
Размер:
142.65 Mб
Скачать

§5. Несобственные интегралы.

1. Несобственный интеграл первого рода.

При определении определённого интеграла мы предполагали, что отрезок интегрирования конечный, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Ниже мы распространим понятие определённого интеграла на случаи бесконечного отрезка интегрирования и на случай неограниченной функции.

Определение 5.1. Пусть функция определена на множестве и интегрируема на любом сегменте . Тогда, если существует конечный предел

то этот предел называется несобственным интегралом первого рода и обозначается символом

Таким образом, по определению

В случае, когда существует конечный предел , интеграл называется сходящимся, в противном случае расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл первого рода

Наконец, несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами

определяется как сумма двух несобственных интегралов и , где – любое действительное число, при условии существования обоих несобственных интегралов, т.е.

В качестве примера вычислим несобственный интеграл

Рассмотрим два случая.

1) . Пользуясь определением несобственного интеграла I рода,

Предел в правой части последнего равенства существует, если и не существует, если .

2) Если , легко убедиться, что расходится. Следовательно сходится при и расходится при .

2. Несобственный интеграл II рода.

Пусть функция определена на промежутке , при этом для любого достаточно малого положительного числа 𝜀 функция неограниченна на промежутке и интегрируема на сегменте , тогда если существует конечный предел

то этот предел называется несобственным интегралом второго рода и обозначается символом

При этом интеграл называется сходящимся. Если же предел (3) не существует или бесконечен, то интеграл (10) называется расходящимся.

Для случая, когда функция неограниченна на промежутке и интегрируема на сегменте , для любого достаточно малого положительного 𝜀 , несобственный интеграл определяется как предел

Рассмотрим в качестве примера следующий несобственный интеграл второго рода

1)

Пользуясь определением несобственного интеграла второго рода, найдём

2)

Следовательно сходится при и расходится при

§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.

1. Площадь криволинейной трапеции.

Пусть на сегменте задана неотрицательная и непрерывна функция .

Фигуру, ограниченную линиями , отрезком оси и графиком функции назовём криволинейной трапецией. Площадь указанной криволинейной трапеции обозначим через .

Доказательство. Возьмём произвольное разбиение сегмента

. Выберем на каждом частичном сегменте произвольную точку . Для данного разбиения и данного выбора точек составим интегральную сумму функцию

Интегральная сумма (3) равна площади ступенчатой фигуры, указанной на рис. 1. Так как, площадь криволинейной трапеции приблизительно равна площади ступенчатой фигуры, то

Естественно полагать, что площадь ступенчатой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции при стремлении к нулю наибольшей длины частичных сегментов разбиения (2). Таким образом

Равенство (1) доказано.

Замечание. В случае, когда график функции задан параметрическими уравнениями , получим