Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
03.08.2019
Размер:
142.65 Mб
Скачать

§3. Кривые второго порядка.

  1. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы эллипса через и , расстояние между фокусами через , сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов через . Тогда по определению , т.е. .

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы эллипса лежали на оси абсцисс, а начало координат находилось в середине отрезка . Тогда фокусы имеют координаты , .

Пусть – произвольная точка плоскости, и - расстояния от точки до фокусов и соответственно. Числа и называются фокальными радиусами точки . Очевидно, что точка будет лежать на данном эллипсе тогда и только тогда, когда .

Найдём расстояния и .

Подставляя эти выражения в равенство (1), получим

Перенесём второй радикал в правую часть уравнения, а затем возведём обе части в квадрат

Возведём снова в квадрат обе части уравнения (4)

Обозначим через , тогда из уравнения (5) получим

Разделив обе части на , получим

Уравнение (7) получено из уравнения (3), поэтому координаты любой точки, удовлетворяющие уравнению (3) , будут удовлетворять и уравнению (7). Однако при упрощении уравнения (3) обе его части дважды возводили в квадрат, следовательно, могли появиться такие точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (7), но не удовлетворяют уравнению (3).

Убедимся в том, что если координаты некоторой точки удовлетворяют уравнению (7), то они удовлетворяют и уравнению (3), что будет означать равносильность уравнений (3) и (7) .

Пусть – произвольная точка плоскости, координаты которой удовлетворяют уравнению (7).

Рассмотрим фокальный радиус точки -

Из уравнения (7) имеем.

Непосредственно из определения эллипса следует неравенство

(10)

Из неравенств (9) и (10) следует, что

поэтому

Аналогично доказывается, что

Складывая и , получим . Т.е. получаем равенство (1). Из равенства (1) в свою очередь следует справедливость равенства (3). Таким образом, любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (7), принадлежит эллипсу.

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллипса.

Заметим, что уравнение (7) содержит только члены с чётными степенями и , поэтому эллипс симметричен относительно осей и , а также относительно начала координат. Таким образом, можно знать форму эллипса, если установить вид той его части, которая находится в первом координатном угле.

Из уравнения (7) имеем .

Так как в первом координатном угле , то из равенства (11) имеем

Из последнего равенства вытекает:

  1. Если , то , т.е. точка лежит на эллипсе.

  2. При возрастании от 0 до уменьшается.

  3. Если , то , т.е. точка лежит на эллипсе.

и в уравнении эллипса называются большой и малой полуосями.

Точки, в которых эллипс пересекает оси, называются его вершинами.

Заметим, что если , то уравнение (7) принимает вид . Это уравнение окружности радиуса с центром в точке . Т.е. окружность – частный случай эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение , где - половина расстояния между фокусами, - большая полуось эллипса.

Эксцентриситет обычно обозначают буквой . Т.к. , то .

Принимая во внимание, что , найдём , откуда .

Из последнего равенство легко получается геометрическая иллюстрация эксцентриситета эллипса. При малых значениях 𝜀 числа и почти равны, т.е. эллипс близок к окружности. Если же 𝜀 близко к единице, то число весьма мало по сравнению с числом , т.е. эллипс сильно вытянут вдоль большой оси. Таким образом, эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости.

Известно, что планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим траекториям. Оказывается, планеты движутся почти по окружностям, т.е. эксцентриситеты их орбит близки к нулю, а для орбит комет наоборот, эксцентриситет близок к единице. При этом в одном из фокусов находится солнце. Т.е. некоторые кометы то «сильно» приближаются к солнцу, то сильно удаляются от него.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.