§2. Вещественные числа и их основные свойства
1. Рациональные числа и их основные свойства.
В дальнейшем вещественные числа будем называть также действительными числами.
К действительным
числам относятся все натуральные числа,
множество всех натуральных чисел
обозначим через ℕ.
Итак 
.
,
т.е. 
.
- множество
целых неотрицательных чисел.
Обозначим через
множество всех целых чисел.
Обозначим через
множество всех рациональных чисел.
Вспомним из курса
элементарной математики, что рациональным
называется число, представимое в виде
отношения двух целых чисел, причём одно
и то же рациональное число представимо
в виде отношения различных целых чисел.
(Например 
).
Приведём основные свойства рациональных
чисел, вытекающие из соответствующих
свойств целых чисел.
Фундаментальную роль играют три правила:
Правило сравнения и правила образования суммы и произведения.
1. Любые два
рациональных числа
и
связаны одним и только одним из трёх
знаков, 
или 
,
причём если 
то 
.
Правило сравнения
двух рациональных чисел формулируется
следующим образом: два неотрицательных
рациональных числа 
и 
связаны знаком 
,
т.е.
,
если
,
знаком 
,
если 
и знаком
,
если 
;
два неположительных рациональных числа
и
связаны тем же знаком, что и два
неотрицательных рациональных числа
и 
;
если
– неотрицательное, а
– отрицательное рациональное число,
то
.
Правило образования суммы двух рациональных чисел и определяется по формуле
Правило образования
произведения двух рациональных чисел
и
определяется по формуле 
.
Правило сравнения рациональных чисел обладает теми же свойствами, что и правило сравнения целых чисел, а именно:
1. Если
и 
,
то
(свойство транзитивности знака
);
если
и 
,
то 
(свойство транзитивности знака
).
Правило сложения рациональных чисел обладает следующими четырьмя свойствами:
2. 
(свойство коммутативности или
переместительное свойство)
3. 
(свойство ассоциативности или сочетательное
свойство).
4. Существует
рациональное число 0 такое, что 
для любого рационально числа
.
5. Для каждого
рациональное числа
существует противоположное ему
рациональное число 
,
такое что 
.
Правило умножения рациональных чисел обладает следующими четырьмя свойствами:
6. 
(свойство ассоциативности или сочетательное
свойство).
7. 
(свойство ассоциативности или сочетательное
свойство)
8. Существует
рациональное число 1 такое, что 
для любого рационального числа
.
9.Для каждого
рационального числа
,
отличного от нуля, существует обратное
ему рациональное число
,
такое, что 
.
Правила сложения и умножения связаны следующими свойствами
10. 
свойство дистрибутивности или
распределительное свойство.
Следующие два свойства связывают знак с операциями сложения и умножения:
11. Если
,
то для любого рационального
.
12. Если
и 
,
то 
.
13. Для любого рационального числа , можно число 1 повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма будет больше .
Перечисленные 13 свойств называют основными свойствами рациональных чисел, т.к. все другие алгебраические свойства этих чисел, относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств и неравенств, являются следствиями этих основных свойств.
В частности, из
этих свойств вытекает свойство,
позволяющее почленно складывать
неравенства одного знака, т.е. если
и 
то 
.
Действительно, из
неравенства
и свойства 11, следует, что
,
из неравенства
и свойства 11 следует, что 
.
Тогда из свойства 1 (свойства транзитивности
знака
)
следует, что
.