3. Формула Маклорена.
Рассмотрим формулу
Тейлора для случая, когда 
.
Формула (10) называется формулой Маклорена. При этом остаточный член имеет вид:
В форме Лагранжа
;В форме Пеано
.
4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
1. 
.
Т.к. 
.
,
то по формуле Маклорена получим:
.
Т.к. 
,
то 
то по формуле Маклорена имеет вид
3.
.
Т.к. 
то формула Маклорена примет вид:
4. 
,
где
- любое действительное число. Т.к.
то формула (10) примет вид
где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид
В частном случае,
когда 
,
где
– натуральное число, 
,
следовательно 
и мы получаем известную формулу Бинома
Ньютона
5. 
.
,
.
и формула
(10) примет вид
где остаточный член в форме Лагранжа равен
Формула Тейлора находит разнообразное эффективное применение при вычислениях. Например, с помощью этой формулы можно вычислить число с коль угодно большой точностью. См. Шипачёв В.С., «Высшая математика», гл. 6 §3, п. 6.
§4. Достаточное условие экстремума.
1. Первое достаточное условие экстремума.
Теорема 4.1.
Пусть функция
дифференцируема в некоторой
окрестности точки
и её производная в точке
обращается в ноль 
.
Тогда, если
для всех 
и 
для всех 
,
то функция
имеет в точке
локальный максимум (соответственно
локальный минимум). Если же производная
имеет один и тот же знак слева и справа
от точки
,
то экстремума в точке
нет.
Доказательство. Приведём сначала доказательство для локального максимума. Итак, пусть
,
и 
.
Рассмотрим интервал
.
Пусть
– произвольная точка этого интервала
.
Тогда функция
непрерывна на сегменте 
и дифференцируема на интервале 
.
Применяя к функции
теорему Лагранжа, получим
где 
.
Т.к.
при
,
то 
,
кроме этого 
,
следовательно правая часть равенства
(1) меньше нуля, но тогда и 
.
Итак, неравенство (2) справедливо для
всех
.
Рассмотрим теперь
интервал 
и произвольную точку
этого интервала. Применяя к функции
теорему Лагранжа, получим
где 
.
Т.к. 
,
а 
,
то правая часть равенства (3) меньше
нуля, но тогда меньше нуля и левая часть,
т.е. 
для всех
.
Итак, мы доказали, что 
для всех 
,
т.е. точка
является точкой локального максимума
функции
.
Рассмотрим теперь
случай, когда
,
при
,
.
Возьмём новую функцию 
,
тогда 
при
и 
при
.
Из доказанного случая следует, что у
функции
в точке
есть локальный максимум, но тогда у
функции 
в точке
будет локальный минимум. Пусть теперь
производная
имеет один и тот же знак слева и справа
от точки
.
Пусть для определённости 
.
Возьмём произвольную точку
из интервала
,
отличную от
и, применяя теорему Лагранжа, получим
Т.к.
,
то правая часть равенства (4) положительна
при 
и отрицательна при 
,
т.е.
при
и
при
.
Это означает отсутствие экстремума в
точке
.
Аналогично рассматривается случай
.
Из доказанной
теоремы видно, что обращение в нуль
производной 
не является достаточным условием для
существования экстремума в этой точке.
Для существования экстремума в точке
помимо условия
нужно, чтобы производная
имела разные знаки слева и справа от
точки
.
Точки, в которых первая производная
обращается в нуль называются стационарными
точками. Из теоремы 1.1 следует, что
стационарные точки – это точки возможного
экстремума.