Глава 8. Неопределённый интеграл.
§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
1. Понятие первообразной функции.
Определение
1.1. Функция
называется первообразной функцией
функции
на интервале
,
если всюду на интервале 
существует
производная 
и эта производная
.
Замечание.
В определении 1.1 интервал
может быть заменён на всю бесконечную
прямую
,
либо на одну из бесконечных полупрямых
.
Примеры: функция
является первообразной функции 
на интервале 
,
так как всюду на этом интервале 
;
функция 
является первообразной функции
на бесконечной прямой
,
так как в любой точке этой прямой
;
функция 
является первообразной функции
на бесконечной полупрямой
,
так как 
в каждой точке полупрямой
.
Если функция
является первообразной функции
на интервале
,
то функция 
,
где
– произвольная постоянная, также
является первообразной функции
на интервале, так как 
.
Следующая теорема устанавливает связь между различными первообразными одной и той же функции.
Теорема 1.1.
Если 
и 
– любые две первообразные функции
на интервале
?
То всюду на этом интервале 
,
где
– некоторая постоянная.
Доказательство.
Обозначим через
разность функций
и
.
Тогда в каждой точке интервала
существует 
.
Из теоремы 1.4 §1 главы 7 следует, что 
.
Теорема 1.1 доказана.
Следствие из
теоремы 1.1.
Если
является одной из первообразных функции
на интервале
,
то любая первообразная
функции
на этом интервале имеет вид 
,
где
- некоторая постоянная.
2. Неопределённый интеграл.
Определение 1.2. Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределённым интегралом и обозначается символом
Знак 
называется
знаком интеграла, выражение 
- подынтегральным выражением, а сама
функция
- подынтегральной функцией,
– переменной интегрирования.
Если является одной из первообразных функции на интервале , то
где - произвольная постоянная.
Равенство (1) непосредственно следует из следствия теоремы (1).
3. Основные свойства неопределённого интеграла.
1. 
.
Действительно, если
одна из первообразных функции
,
то
2. 
.
Действительно, 
.
Тогда 
.
Т.к.
является одной из первообразных функции
.
Равенство (3) доказано.
3. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, т.е.
где 
.
Действительно,
если
первообразная функции
,
то 
– первообразная функции 
,
т.к. 
.
Из чего следует, что 
,
где 
.
4. Неопределённый интеграл от суммы или разности двух функций равен соответственно сумме или разности неопределённых интегралов этих функций, т.е.
Действительно,
пусть
и 
первообразные функций
и
соответственно:
Так как 
,
то функция 
является первообразной функции 
.
4. Таблица основных интегралов.
Приведённые ниже интегралы принято называть табличными интегралами.
Справедливость
всех приведённых формул, за исключением
формул 4, 12, 13, непосредственно следует
из определения неопределённого интеграла
и таблицы производных элементарных
функций. Сделаем замечания в отношении
формул 4, 12 и 13. Формула 4 справедлива для
любого интервала, не содержащего точки
.
Действительно, если
то из равенства
заключаем, что 
,
а если
,
то из равенства 
,
заключаем, что 
.
Следовательно, формула 4 справедлива
для любого 
.
Докажем равенство 12. Рассмотрим два случая
1) 
.
Тогда
1. 
.
Поэтому
Следовательно
Рассмотрим теперь
функцию 
.
Данная функция определена на множестве
.
Если 
то 
,
поэтому для любой точки полупрямой 
Следовательно справедливо
на полупрямой .
Если 
,
то 
,
поэтому
Т.е.
на интервале 
.
Справедливость равенства (12) доказана.
Справедливость равенства (13) проверить самостоятельно.