§5. Скалярное произведение двух векторов.

Определение скалярного произведения

Пусть даны векторы . Приложим эти векторы к одной точке , и пусть ,

Углом между двумя ненулевыми векторами называется наименьший угол между лучами и .

Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между векторами не определён.

Угол между векторами и обозначается через 𝜑 или . Очевидно, что .

Определение5.1. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла 𝜑 между ними.

Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение полагается равным нулю. Скалярное произведение векторов обозначается следующим образом .

Итак, по определению .

Пусть - ненулевые векторы. Обозначим через – проекцию вектора на ось, определяемую ненулевым вектором Тогда в силу теоремы 4.1 настоящей главы , где 𝜑 – угол между векторами Следовательно равенство (1) может быть записано в виде .

Аналогично доказывается справедливость равенства

Заметим, что равенство (2) верно для любого ненулевого вектора и любого вектора , в том числе нулевого. И равенство (3) верно для любого ненулевого вектора и любого вектора в том числе нулевого.

Физический смысл скалярного произведения. Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора, то работа, производимая этой силой равна скалярному произведению .

Два ненулевых вектора называются ортогональными (или перпендикулярными), если угол 𝜑 между ними является прямым.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то эти векторы также считаются ортогональными.

Теорема 5.1. Для ортогональности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

Достаточность. Пусть . Тогда в силу определения скалярного произведения

. Из последнего равенства мы имеем либо 1) либо 2) . В первом случае хотя бы один из векторов нулевой, и тогда векторы считаются ортогональными по определению.

Во тором случае , следовательно угол 𝜑 прямой, т.е. векторы ортогональны.

Необходимость. Если векторы ортогональны, то либо угол 𝜑 прямой, либо хотя бы один из векторов нулевой, но в любом случае

Теорема 5.1 доказана.

Теорема 5.2. Для любых векторов и числа

1. ;

2. ;

3. 

4. , если - ненулевой вектор и , если - нулевой вектор.

Свойство 1 следует из определения скалярного произведения. Действительно, если ненулевые векторы, то .

Докажем свойство 2. Рассмотрим случай, когда - нулевой вектор. Тогда , и = . В этом случае справедливость свойства 2 очевидна. Пусть теперь - ненулевой вектор. Тогда согласно теореме 4.5 §4 главы 3

Свойство 2 доказано.

Докажем свойство 3. В случае, когда нулевой вектор, справедливость свойства 3 очевидна. Пусть - ненулевой вектор, тогда . Свойство 3 доказано.

Докажем свойство 4. Из определения скалярного произведения следует, что

Из последнего равенства следует справедливость свойства 4.

Замечание. Свойства 2) и 3) называются свойством линейности скалярного произведения по первому множителю. Из свойства 1) следует, что скалярное произведение обладает свойством линейности и по второму множителю, т.е. и для любых векторов и любого действительного числа 𝜆.

Рассмотрим следующий вопрос: Как можно выразить скалярное произведение векторов , зная их координаты.

Теорема 5.3. Если вектор имеет декартовы координаты , а координаты , то скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е.

Доказательство. Представим векторы , . Тогда

Пользуясь свойствами скалярного произведения, получим

Учитывая в правой части последнего равенства, что , ,

, получим

Теорема 5.3 доказана.

Следствие. Для ортогональности двух векторов и необходимо и достаточно, чтобы .

Справедливость этого утверждения непосредственно следует из теорем 5.1 и 5.3.

Пусть - прямоугольные декартовы координаты вектора в прямоугольной системе координат . Согласно теореме 5.3

С другой стороны . Следовательно

Если - прямоугольные координаты вектора в системе координат , то

Угол между двумя векторами на плоскости и в пространстве.

Пусть заданы прямоугольные координаты двух векторов . , .

Тогда , где - угол между векторами .

Из последнего равенства находим

Аналогичная формула справедлива и для плоскости. Если , , то