3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.

Пусть подмножество множества действительных чисел ℝ.

Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число , что для любого справедливо неравенство .

При этом число называется верхней гранью (нижней гранью) множества .

Заметим, что любое ограниченное сверху множество имеет бесконечно много верхних граней. Действительно, если одна из верхних граней этого множества, то любое число , большее является его верхней гранью. Аналогично любое ограниченное снизу множество имеет бесконечное множество нижних граней. Так, например, множество всех отрицательных вещественных чисел ограничено сверху. В качестве верхней грани этого множества можно взять любое неотрицательное вещественное число.

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества , называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом .

Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом .

Приведем другие, эквивалентные определения точной верхней и точной нижней граней множества.

Число называется точной верхней гранью (точной нижней гранью) ограниченного сверху (снизу) множества , если выполнены следующие два требования: 1) . 2) .

В этом определении требование 1) означает что число является одной из верхних (нижних) граней множества . Требование 2) означает, что если уменьшить (увеличить) число на произвольное положительное число 𝜀, то число перестает быть верхней (нижней) гранью множества .

Естественно возникает вопрос, существует ли точная верхняя (точная нижняя) грань у любого ограниченного сверху (снизу) множества. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

** Теорема 2.1. Если непустое множество вещественных чисел ограничено сверху (снизу), то существует единственное число , которое является точной верхней гранью (точной нижней гранью) этого множества.

Теорема 2.1 приводится без доказательства.

Заметим, что у рассмотренного выше множества всех отрицательных вещественных чисел существует точная верхняя грань , причём это число не принадлежит множеству .

В общем случае числа и могут, как принадлежать множеству , так и не принадлежать ему. Например, для множества натуральных чисел точной нижней гранью будет число 1, которое принадлежит множеству натуральных чисел.

Множество вещественных чисел называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. существуют вещественные числа и , такие, что для любого справедливы неравенства .

Из теоремы 2.1 следует, что у каждого непустого ограниченного множества существуют точная нижняя и точная верхняя грани.

4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.

Справедливо следующее утверждение:

Теорема 2.2. Для произвольного натурального и произвольного действительного числа найдутся два рациональных числа и , такие, что и .

Доказательство. Приведём доказательство для случая неотрицательного числа . Представим число бесконечной десятичной дробью . Фиксируем номер и оборвав указанную десятичную дробь на n-ном знаке после запятой, мы получим рациональное число . Прибавив к рациональному числу рациональное число , мы получим другое рациональное число . Очевидно, что .

Из правил сравнения вещественных чисел следует, что . Для случая неотрицательного утверждение доказано.

Случай неположительного сводится к рассмотренному случаю путём перехода к модулям.

Приведенная теорема имеет важное практическое значение, так как любое вещественное число можно заменить рациональным числом с требуемой степенью точности.

Важнейшим вопросом теории вещественных чисел является вопрос об определении операций сложения и умножения действительных чисел и о свойствах этих операций.

Начнём с определения операции сложения вещественных чисел. Известно как на практике складывают два вещественных числа : их заменяют с требуемой степенью точности рациональными числами и и за приближённое значение их суммы берут сумму указанных рациональных чисел. При этом предполагается, что чем точнее рациональные числа и приближают вещественные числа соответственно, тем точнее сумма приближает то вещественное число, которое должно являться суммой вещественных чисел .

Приведенное выше практическое правило лежит в основе определения суммы двух вещественных чисел. Суммой вещественных чисел и называется такое вещественное число , которое удовлетворяет неравенствам

для любых рациональных чисел , , , удовлетворяющих неравенствам

.

Оказывается, что такое вещественное число существует, и притом только одно. При этом таким числом является точная верхняя грань множества сумм всех рациональных чисел и , удовлетворяющих неравенствам и .

Аналогичным образом вводится понятие произведения двух положительных вещественных чисел.

Произведением положительных вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее неравенствам , где , , , - произвольные положительные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам

Точно так же, как и для суммы, такое число существует, и притом только одно. Оказывается, таким числом является точная верхняя грань множества , где , - произвольные положительные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам

Произведение вещественных чисел произвольного знака определяется следующим образом:

1) считают, что

2) считают, что

Введём теперь понятие разности и частного двух действительных чисел.

Разностью действительных чисел и называется такое число , что . Разность чисел и обозначается .

Частным двух вещественных чисел и , где называется такое вещественное число , что .

Итак, для действительных чисел мы ввели правило сравнения и операции сложения и умножения. Оказывается, для множества действительных чисел переносятся все 13 основных свойство сформулированных в пункте 1 параграфа 1.

В заключение отметим, что множество действительных чисел уже нельзя расширить до более широкого множества, в котором остались бы справедливыми правила сравнения, сложения, умножения и 13 основных свойств, т.е. множество вещественных чисел является полным относительно трёх указанных правил и 13 основных свойств.