3. Инвариантность формы первого дифференциала.

Ниже будет доказано, что установленная в пункте 7 §1 главы 6 формула (10) остаётся справедливым и в случае, когда аргумент сам является дифференцируемой функцией вида некоторой независимой переменной . Это свойство дифференциала функции называется свойством инвариантности формы первого дифференциала.

Пусть аргумент дифференцируемой функции является дифференцируемой функцией вида некоторой независимой переменной . Тогда функцию можно рассматривать как сложную функцию вида аргумента . Так как, аргумент является независимой переменной, то дифференциалы функций и представимы в виде

По правилу дифференцирования сложной функции находим

Подставляя равенство (10) в первое из равенств (9), получим . Учитывая в последнем равенстве второе из равенств (9), получим для дифференциала выражение .

Инвариантность формы первого дифференциала доказана.

Замечание. Из универсальности представления (11) вытекает другая, эквивалентная формулировка свойства инвариантности формы первого дифференциала: производная дифференцируемой функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу её аргумента , т.е. как в случае, когда аргумент является независимой переменной, так и в случае, когда аргумент сам является дифференцируемой функцией вида некоторой независимой переменной .

Отношение , стоящее в правой части равенства (12) может быть использовано для обозначения производной функции по аргументу .

§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.

Теорема 3.1. Если функции и дифференцируемы в данной точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также дифференцируемы в точке , причём справедливы формулы:

Доказательство. Пусть . Обозначим через приращения функций в данной точке , отвечающие приращению аргумента . Тогда

Считая, что и поделив обе части равенства (2) на , получим

Из равенства (3) находим или .

Пусть, теперь . Сохраняя за и тот же смысл, что и выше, получим, что

Из последнего равенства находим, что

или

Считая, что и поделив обе части равенства (4) на , получим

Пусть теперь . Тогда

Из дифференцируемости функций и в точке следует существование пределов

Учитывая последние равенства в равенстве (5) получим, что у функции существует производная и эта производная равна .

Пусть, наконец , где в данной точке . Т.к. дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Тогда по теореме об устойчивости знака непрерывной функции для всех достаточно малых , и мы можем записать, что

Добавляя и вычитая в числителе слагаемое , получим

Таким образом,

Пусть теперь . В силу дифференцируемости функции и в точке существуют пределы , , . Из существования этих пределов и условия следует, что существует производная и эта производная равна

Теорема 3.1 доказана.

Следствие из теоремы 3.1. Если для функций и выполнены в данной точке те же предположения, что и в теореме 3.1, то в этой точке справедливы следующие соотношения для дифференциалов:

Докажем для примера последнее из равенств (7).

Аналогично доказываются остальные соотношения из равенств (7).