Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1.doc
Скачиваний:
41
Добавлен:
03.08.2019
Размер:
142.65 Mб
Скачать

2. Гипербола.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модулю разности расстояний от двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Пусть и - фокусы гиперболы. Обозначим расстояние между фокусами и через , а модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов через . По определению , т.е. . Введём на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы гиперболы лежали на оси абсцисс. А начало координат делило отрезок пополам. Тогда фокусы гиперболы имеют координаты . Выведем уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Пусть – произвольная точка плоскости. Обозначим расстояния от точки до фокусов и через и соответственно, т.е. , . Из определения гиперболы следует, что точка будет лежать на данной гиперболе тогда и только тогда, когда . Т.е.

.

Подставляя выражения

в равенство (12), получим

Очевидно, что точка лежит на гиперболе тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению (14). Перенесём второй радикал в правую часть уравнения, после чего возведём обе части в квадрат.

Снова возведём обе части уравнения в квадрат:

Обозначим получим или

Как и для случая эллипса, можно доказать, что при возведении в квадрат не получены «лишние» точки, т.е. координаты точек гиперболы и только они удовлетворяют уравнению (17). Уравнение (17) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследуем форму гиперболы по её каноническому уравнению.

Уравнение (17) содержит только чётные степени координат и . Следовательно гипербола симметрична относительно осей и , а также относительно начала координат. Поэтому достаточно рассмотреть ту часть гиперболы, которая лежит в первом координатном угле. Для этой части гиперболы , поэтому, разрешая уравнение (16) относительно , а затем извлекая квадратный корень, получим

Из равенства (18) вытекают следующие утверждения.

  1. .

  2. Если , то , т.е. точка принадлежит гиперболе.

  3. Если , то , причём возрастает неограниченно при неограниченном возрастании . Точка на гиперболе движется с ростом «вправо» и «вверх», её начальное положение – точка .

Вид гиперболы теперь можно легко установить, используя симметрию относительно координатных осей.

Рассмотрим прямую, заданную её уравнением с угловым коэффициентом

Прямая, заданная уравнением (19) называется асимптотой гиперболы. Покажем, что точка уходя по гиперболе в бесконечность, неограниченно приближается к прямой, определяемой уравнением (19).

Возьмём произвольное значение и рассмотрим две точки и , где

и . Тогда точка лежит на гиперболе, а точка - на прямой (19). Очевидно, прямая перпендикулярная оси . Найдём длину отрезка .

Прежде всего заметим, что , т.е. . Это означает, что точка лежит под точкой . Таким образом

Из последнего равенства следует, что при неограниченном увеличении длина отрезка уменьшается и приближается к нулю, т.к. знаменатель неограниченно увеличивается, а числитель есть постоянная величина . Обозначим через основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую (19). Тогда - расстояние от точки до этой прямой. Очевидно, , а т.к. , то и подавно , т.е. точка неограниченно приближается к прямой (19).

Гипербола состоит из двух ветвей правой и левой и имеет две асимптоты: и .

Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии (точка пересечения осей) – центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются её вершинами. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник со сторонами и называется основным прямоугольником гиперболы. Величины и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Рассмотрим уравнение , которое также определяет гиперболу; вершины её лежат на оси . Эта гипербола называется сопряжённой по отношению к гиперболе (17). Обе эти гиперболы имеют одни и те же асимптоты.

Гипербола с равными полуосями, т.е. называется равнобочной и её каноническое уравнение имеет вид

.

Так как основной прямоугольник равносторонней гиперболы является квадратом, то асимптоты равнобочной гиперболы перпендикулярны друг другу.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение , где - половина расстояния между фокусами, - действительная полуось гиперболы. Эксцентриситет гиперболы обозначается буквой 𝜀. Так как , то . Учитывая, что , найдём

откуда .

Из последнего равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы: чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше отношение , а это означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму её основного прямоугольник, а значит, и форму самой гиперболы.