- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
2. Гипербола.
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модулю разности расстояний от двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Пусть и - фокусы гиперболы. Обозначим расстояние между фокусами и через , а модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов через . По определению , т.е. . Введём на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы гиперболы лежали на оси абсцисс. А начало координат делило отрезок пополам. Тогда фокусы гиперболы имеют координаты . Выведем уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Пусть – произвольная точка плоскости. Обозначим расстояния от точки до фокусов и через и соответственно, т.е. , . Из определения гиперболы следует, что точка будет лежать на данной гиперболе тогда и только тогда, когда . Т.е.
.
Подставляя выражения
в равенство (12), получим
Очевидно, что точка лежит на гиперболе тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению (14). Перенесём второй радикал в правую часть уравнения, после чего возведём обе части в квадрат.
Снова возведём обе части уравнения в квадрат:
Обозначим получим или
Как и для случая эллипса, можно доказать, что при возведении в квадрат не получены «лишние» точки, т.е. координаты точек гиперболы и только они удовлетворяют уравнению (17). Уравнение (17) называется каноническим уравнением гиперболы.
Исследуем форму гиперболы по её каноническому уравнению.
Уравнение (17) содержит только чётные степени координат и . Следовательно гипербола симметрична относительно осей и , а также относительно начала координат. Поэтому достаточно рассмотреть ту часть гиперболы, которая лежит в первом координатном угле. Для этой части гиперболы , поэтому, разрешая уравнение (16) относительно , а затем извлекая квадратный корень, получим
Из равенства (18) вытекают следующие утверждения.
.
Если , то , т.е. точка принадлежит гиперболе.
Если , то , причём возрастает неограниченно при неограниченном возрастании . Точка на гиперболе движется с ростом «вправо» и «вверх», её начальное положение – точка .
Вид гиперболы теперь можно легко установить, используя симметрию относительно координатных осей.
Рассмотрим прямую, заданную её уравнением с угловым коэффициентом
Прямая, заданная уравнением (19) называется асимптотой гиперболы. Покажем, что точка уходя по гиперболе в бесконечность, неограниченно приближается к прямой, определяемой уравнением (19).
Возьмём произвольное значение и рассмотрим две точки и , где
и . Тогда точка лежит на гиперболе, а точка - на прямой (19). Очевидно, прямая перпендикулярная оси . Найдём длину отрезка .
Прежде всего заметим, что , т.е. . Это означает, что точка лежит под точкой . Таким образом
Из последнего равенства следует, что при неограниченном увеличении длина отрезка уменьшается и приближается к нулю, т.к. знаменатель неограниченно увеличивается, а числитель есть постоянная величина . Обозначим через основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую (19). Тогда - расстояние от точки до этой прямой. Очевидно, , а т.к. , то и подавно , т.е. точка неограниченно приближается к прямой (19).
Гипербола состоит из двух ветвей правой и левой и имеет две асимптоты: и .
Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии (точка пересечения осей) – центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются её вершинами. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник со сторонами и называется основным прямоугольником гиперболы. Величины и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Рассмотрим уравнение , которое также определяет гиперболу; вершины её лежат на оси . Эта гипербола называется сопряжённой по отношению к гиперболе (17). Обе эти гиперболы имеют одни и те же асимптоты.
Гипербола с равными полуосями, т.е. называется равнобочной и её каноническое уравнение имеет вид
.
Так как основной прямоугольник равносторонней гиперболы является квадратом, то асимптоты равнобочной гиперболы перпендикулярны друг другу.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение , где - половина расстояния между фокусами, - действительная полуось гиперболы. Эксцентриситет гиперболы обозначается буквой 𝜀. Так как , то . Учитывая, что , найдём
откуда .
Из последнего равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы: чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше отношение , а это означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму её основного прямоугольник, а значит, и форму самой гиперболы.