9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
Множество всех прямых плоскости, проходящих через данную точку , будем называть пучком прямых, проходящих через точку .
Пучок прямых,
проходящих через точку
будем обозначать 
.
Рассмотрим множество
всевозможных прямых, проходящих через
некоторую точку
и не параллельных оси
.
Пусть 
– уравнение произвольной прямой из
указанного множества. Тогда 
.
Подставляя найденное выражение для
коэффициента
в уравнение прямой, получим
Уравнение любой прямой, проходящей через точку и не параллельной оси , получается из уравнения (42) при соответствующем подборе углового коэффициента . Это уравнение называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку
Пусть прямые
заданные
общими уравнениями
пересекаются в единственной точке .
Справедлива следующая теорема:
Теорема 2.2. Для
того, чтобы прямая
,заданная
общим уравнением 
принадлежала
пучку прямых, проходящих через точку
,
необходимо и достаточно, чтобы существовали
такие действительные числа
и β, 
,
что 
,
,
.
Доказательство. Докажем сначала достаточность.
Пусть выполнены
равенства (45)
Докажем,
что прямая
принадлежит пучку
.
Для этого достаточно доказать
справедливость равенства
Так как, точка
принадлежит как прямой
,
так и прямой
,
то её координаты 
,
удовлетворяют равенствам
.
(46)
Рассмотрим выражение
.
Подставляя в место коэффициентов 
соответствующие выражения из равенств
(45), получим
Достаточность доказана.
Докажем необходимость.
Пусть прямая 
задана её общим уравнением 
принадлежит пучку
,
т.е. проходящих через точку
.
Покажем, что существуют такие действительные числа и β, , что верны равенства (45).
Пусть 
произвольная, отличная от
,
точка прямой
.
Положим 
.
Поскольку точка
не может одновременно лежать на 
,
то по крайней мере одно из чисел
или
отлично от нуля.
Рассмотрим прямую заданную уравнением
(47)
Из равенств
.
Следует, что точки и лежат на прямой, заданной уравнением (47).
Так как, через две
различные точки
и 
проходит
единственная прямая, то прямая
совпадает с прямой, заданной уравнением
(47). Необходимость доказана.
Из теоремы следует, что прямая с общим уравнением принадлежит пучку прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых
Тогда и только тогда, когда уравнение прямой можно представить в виде
Заметим, что уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения прямых можно получить путём соответствующего подбора и β.
В частности, если
,
,
мы получим уравнение прямой
.
Если 
,
мы получим уравнение прямой
.
10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
Нормированным
уравнением прямой называется уравнение
вида 
,
которое получается из общего уравнения
путём деления его на длину 
нормального вектора 
.
Расстояние от точки до прямой.
Докажем, что
расстояние 
точки
до прямой, заданной общим уравнением
равно
Доказательство.
Рассмотрим на плоскости 
произвольную прямую 
,
определяемую общим уравнением
и вектор 
.
Единичный
вектор 
коллинеарен вектору
,
а поэтому ортогонален к прямой
.
Приложим вектор
к началу координат. Пусть 
- точка пересечения прямой, на которой
лежит вектор
и прямой
.
Возьмём на плоскости
произвольную точку
,
а на прямой
-произвольную точку
.
Пусть 
– проекция точки
на прямую, на которой лежит вектор
.
Тогда очевидно, что 
и будет расстоянием от точки 
до прямой
.
Пусть
- угол между векторами
и
тогда
Справедливость формулы (49) доказана.