§ 3. Числовые последовательности.

1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.

Определение 3.1. Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вещественное число , то множество вещественных чисел называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа будем называть элементами или числами последовательности (1), – общим элементом или членом последовательности, - его номером. Последовательность будем обозначать символом .

Рассмотрим ещё одну последовательность . Назовём последовательность суммой последовательностей (1) и (2), последовательность - разностью последовательностей (1) и (2), последовательность - произведением последовательностей (1) и (2) и, наконец, последовательность - частным последовательностей (1) и (2). Очевидно, при определении частного последовательностей (1) и (2) нужно требовать, что .

2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует вещественное число , такое, что для всех элементов справедливо неравенство

При этом число называется верхней гранью (нижней гранью) последовательности .

Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если существуют вещественные числа такие, что для всех элементов справедливы неравенства

В этом определении, неравенство (3) означает, что вне сегмента нет ни одного элемента . Исходя из сказанного, можно привести другое, эквивалентное определение ограниченной последовательности.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое вещественное положительное число , что , для всех элементов .

Последовательность , не являющаяся ограниченной, называется неограниченной, т.е. последовательность называется неограниченной, если для любого положительного вещественного числа , найдётся хотя бы один элемент , удовлетворяющий неравенству .

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного вещественного числа найдётся номер , такой, что для всех элементов с номерами , удовлетворяющими условию .

Очевидно, что всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Вместе с тем не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, последовательность будет неограниченной, однако она не является бесконечно большой, т.к. для неравенство (4) не выполнено для элементов с нечётными номерами.

Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного вещественного числа найдётся номер , такой что

для всех элементов с номерами, удовлетворяющими условию .

Отметим некоторые свойства бесконечно малых последовательностей.

Теорема 3.1. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей и являются бесконечно малыми последовательностями.

Доказательство. Пусть - произвольное положительное число. Так как и являются бесконечно малыми последовательностями, то для положительного числа найдутся номера и такие, что

для всех и

для всех номеров .

Обозначим через наибольший из двух номеров и , тогда для всех номеров будут справедливы оба неравенства (6) и (7). Учитывая справедливость неравенства и неравенств (6) и (7), найдём .

Итак, для произвольного положительного мы нашли такой номер , что для всех номеров справедливы неравенства и , которые и означают, что последовательности и являются бесконечно малыми последовательностями.

Следствие из теоремы 3.1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 3.2. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Т.к. последовательность ограничена, то существует такое положительное число , что для всех номеров справедливо неравенство

Фиксируем произвольное число и рассмотрим положительное число . Так как последовательность является бесконечно малой, то для положительного числа существует номер такой, что для всех номеров будет справедливо неравенство . Очевидно, что . Последнее неравенство верно для всех , т.е. последовательность является бесконечно малой. Теорема 3.2 доказана.

Теорема 3.3. Всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной.

Доказательство. Пусть - произвольное положительное число. Тогда существует такой номер , что для всех номеров будет справедливо неравенство .

Обозначим через наибольшее число среди чисел . Тогда неравенство будет справедливо для всех номеров . Теорема доказана.

Следствие из теорем 3.2 и 3.3. Произведение двух (а потому и любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 3.4. Если – бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера определено частное последовательностей и , которое является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Фиксируем произвольное положительное число , и рассмотрим положительное число . Так как последовательность является бесконечно большой, то для числа существует такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство

Из неравенства (10) следует, что для всех , следовательно, для всех номеров определено частное . При этом из неравенства (10) находим

Следовательно, начиная с некоторого номера, можно рассматривать частное и это частное является бесконечно малой последовательностью. Теорема доказана.