7. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел. Докажем, что .

Этот предел принято называть первым замечательным пределом.

Рассмотрим дугу единичной окружности, с центральным углом, радиальная мера которого равна .

Тогда . Очевидно, что площадь меньше площади сектора , которая меньше площади . Так как, ,

, то . Из этих неравенств и равенства (8), найдём: . Разделив обе части неравенств (9) на , найдём

или . Из неравенств (10) находим или . Так как, , то при , справедливо неравенство , поэтому из неравенств (11) имеем

. Т.к. , то , т.е. .

Для завершения доказательства равенства (7), достаточно воспользоваться неравенствами (12) и теоремой 4.3.

Второй замечательный предел.

.

Доказательство равенства (13) основано на, доказанное в §4 равенство,

. Подробное доказательство равенства (13) см. Шипачёв В.С. «Высшая математика» стр. 81.

Третий замечательный предел. Докажем, что .

Действительно. . Пусть . Тогда при . Поэтому . В силу равенства (13), последний предел равен Тогда .

Четвёртый замечательный предел. Докажем, что .

Очевидно, при , равенство (14) выполнено. Пусть и . Обозначим через . Тогда при . . Тогда

Пятый замечательный предел. Докажем, что .

Пользуясь основным логарифмическим тождеством, представим в виде . Обозначим . Тогда при .

Из равенства (14) имеем и . Т.е.

§5. Непрерывные функции.

1. Определение непрерывной функции по Гейне и по Коши. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Функция называется непрерывной в точке , если существует предел данной функции в точке и этот предел равен значению функции в этой точке, т.е. .

Пользуясь определением предела функции по Гейне и по Коши, приведем следующие два определения непрерывной функции.

Определение непрерывной функции по Гейне. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента сходящейся к пределу , соответствующая последовательность значений функции сходится к пределу .

Определение непрерывной функции по Коши. Функция называется непрерывной в точке , если для любого положительного существует положительно число такое, что для всех , для которых , справедливо неравенство .

Очевидно, приведенные определения эквивалентны.

2. Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема 5.1. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции

и , также непрерывны в точке .

Доказательство. Так как функции и непрерывны в точке , то ,

. Тогда , что доказывает непрерывность функции  в точке .

, т.е. функция непрерывна в точке .

, т.е. функция непрерывна в точке .

3. Примеры непрерывных функций.

Непрерывность рациональных функций.

Непосредственно из определения, следует непрерывность постоянной функции Действительно, в каждой точке числовой прямой выполняются равенства . Следовательно, постоянная функция непрерывна в каждой точке вещественной прямой.

Функция также является непрерывной в каждой точке числовой прямой. Действительно , что означает непрерывность функции в любой точке . Из непрерывности функции и теоремы 5.1 следует непрерывность, в любой точке числовой прямой, функций , , где . Из сказанного выше следует непрерывность функции

в любой точке , где – любые числа, а . Функция вида (1) называется алгебраическим многочленом или полиномом.

Дробно-рациональная функция, т.е. функция вида , где и - алгебраические многочлены, непрерывна во всех точках , в которых функция не обращается в нуль, как частное непрерывных функций.

Например, функция непрерывна во всех точках, за исключением тех точек, где , т.е. .

Непрерывность тригонометрических функций. . Покажем, что функция непрерывна в каждой точке . Рассмотрим разность

тогда

Докажем, что . Действительно, обозначим . Очевидно, что при . Тогда . . Т.е. функция - бесконечно малая функция при . Тогда т.к. функция – ограничена , то из теоремы 4.4. следует, что правая часть равенства (2) равна 0. А это означает, что , т.е. . Непрерывность функции доказана. Непрерывность функции доказывается аналогично.

Из непрерывности функций , и теореме 5.1 следует непрерывность функций и во всех точках, где , т.е. во всех точках, кроме и функций и во всех точках, кроме

Непрерывность функции . Эта функция определена и непрерывна во всех точках числовой прямой. Действительно, в точках интервала она непрерывна, так как при . В точках интервала функция также непрерывна, так как при , эта функция непрерывна как произведение двух непрерывных функций и . Установим теперь непрерывность функции в точке . Для этого вычислим односторонние пределы в точке .

Итак, пределы функции в точке слева и справа совпадают и равны значению функции в этой точке, тогда по теореме 4.1 существует и этот предел равен односторонним пределам, т.е. нулю. Следовательно для функции существует предел в точке , и этот предел равен значению функции в точке , что означает непрерывность данной функции в точке .

Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Замечание. В определении 5.2 интервал может быть как конечным, так и бесконечным интервалом, т.е. может иметь вид , , .

Функция называется непрерывной на сегменте , если она непрерывна в каждой точке и непрерывна в точке справа и в точке слева, т.е.