2. Точки перегиба графика функции.

Пусть функция дифференцируема на интервале , а – произвольная точка интервала . Предположим, что функция имеет определённое направление выпуклости на каждом из интервалов и .

Определение 5.2. Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет разные направления выпуклости.

На рисунке изображён график функции, имеющей перегиб в точке .

Теорема 5.3. (Необходимое условие перегиба графика функции).

Если график функции имеет перегиб в точке и если функция имеет непрерывную вторую производную в точке , то .

Доказательство. Предположим обратное, т.е. . Тогда или . Рассмотрим случай , тогда по теореме 5.2 существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет выпуклость, направленную вниз, что противоречит наличию перегиба графика функции в точке . Полученное противоречие доказывает теорему. Случай рассматривается аналогично.

Теорема 5.4. (Первое достаточное условие перегиба)

Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки и . Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки , то график этой функции имеет перегиб в точке .

Доказательство. Т.к. вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки , то, согласно теореме 5.1 график функции имеет слева и справа от точки разные направления выпуклости, что означает наличие перегиба у графика функции в точке . Теорема доказана.

Теорема 5.5. (Второе достаточное условие перегиба).

Если функция имеет в точке конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям , то график этой функции имеет перегиб в точке .

Доказательство. Итак , . Для определённости будем считать, что . Тогда по определению производной третьего порядка

Т.к. , то

По предположению , поэтому такое, что для всех , для которых выполнены неравенства , справедливо неравенство . Пусть , тогда из неравенства (1) получим , т.е. вторая производная отрицательна слева от точки . Пусть теперь , тогда из неравенства (1) получим , т.е. вторая производная положительна справа от точки .

Итак, вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки . При этом

. Тогда по теореме 5.4 график функции имеет перегиб в точке . Аналогично рассматривается случай . Теорема 5.5 доказана.

§6. Асимптоты графика функции.

Определение 6.1. Будем говорить, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов или равен или .

Пример. График функции имеет вертикальную асимптоту , т.к. ,

.

Определение 6.2. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если функция представима в виде

где .

Теорема 6.1. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие равенства:

Доказательство. Необходимость.

Пусть прямая является наклонной асимптотой графика функции при . Тогда функция представима в виде

, где . Поделим обе части равенства (1) на и перейдём к пределу в полученном равенстве при , получим

Рассмотрим теперь предел

Достаточность.

Пусть выполнены равенства (2). Тогда из существования предела следует, что разность является бесконечно малой при . Обозначив эту бесконечно малую функцию , получим для функции представление (1). Теорема доказана.

В заключение данного параграфа приведём схему исследования графика функции.

Целесообразно провести следующие исследования.

1. Установить область определения функции.

2. Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных)

3. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума.

4. Найти области сохранения выпуклости и точки перегиба.

5. Найти точки пересечения графика функции с осями и .

После проведения указанных исследований легко строится эскиз графика функции. §7. Глобальные максимум и минимум функции на сегменте.

Пусть функция непрерывна на сегменте , тогда в силу второй теоремы Вейерштрасса существуют точки и сегмента такие, что .

Иными словами функция достигает в точке своего глобального максимума, а в точке - глобального минимума.

Естественно возникает вопрос: как найти точки глобального максимума и глобального минимума и .

Приведём описание процесса нахождения глобального максимума и соответствующей точки .

Пусть - какая-то точка глобального максимума. Указанная точка либо находится внутри сегмента ? Либо совпадает с одной из точек и . Если находится внутри сегмента , то она совпадает с одной из точек локального максимума функции / Предположим, что внутри сегмента существует конечное множество точек локального максимума функции , пусть эти точки . Тогда число будет совпадать с числом . В качестве точки можно взять тут точку из множества , в которой соответствующее значение функции будет наибольшим. Аналогично находится число и соответствующая точка .