- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
4. Монотонные последовательности.
Последовательность называется возрастающей, если для всех ; неубывающей, если для всех ; убывающей, если для всех ; невозрастающей, если для всех .
Все такие последовательности объединяются общим названием: монотонные последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными.
Теорема 3.10. Монотонная ограниченная последовательность сходится.
Рассмотрим случай неубывающей последовательности. Пусть для всех . Т.к. последовательность ограничена, то существует такое число , что для всех номеров справедливо неравенство . Пусть - множество, состоящее из элементов последовательности , т.е.
. Тогда - непустое, ограниченное сверху множество. Поэтому по теореме 2.1 для множества существует точная верхняя грань , т.е. . Докажем, что является пределом последовательности .
Т.к. - точная верхняя грань множества , то для любого существует такой элемент , что . С другой стороны, по определению точной верхней грани для всех . Из неравенств (22), (23) и из условия неубывания последовательности найдём
для всех .
Из последних неравенств имеем
для всех или
для всех .
Т.е. является пределом последовательности .
Отметим, что аналогично рассматривается случай невозрастающей ограниченной последовательности с той лишь разницей, что вместо надо рассмотреть . Теорема доказана.
Число . Рассмотрим последовательность с общим членом . Докажем, что последовательность является возрастающей и ограниченной сверху. Тогда из теоремы 3.10 будет следовать существование предела этой последовательности.
Воспользуемся формулой бинома Ньютона.
,
где – число сочетаний из элементов по элементов и , где .
Тогда
Подставляя в это равенство в место индекса , найдем
Так как для любого натурального , то каждое слагаемое в выражении для , начиная со второго слагаемого, больше, чем соответствующее слагаемое в выражении для , кроме этого содержит на одно положительное слагаемое больше, чем , т.е. . Тем самым, монотонное возрастание последовательности доказано. Докажем ограниченность последовательности .
Для доказательства ограниченности сверху этой последовательности заметим, что для любого справедливо неравенство . Поэтому
Т.е. для всех . Т.е. последовательность ограничена сверху.
Итак, последовательность является монотонно возрастающей ограниченной сверху последовательностью. По теореме 3.10 она сходится к некоторому пределу, который мы обозначим через
Итак, (24)
Отметим, что число является иррациональным (без доказательства) числом, имеющим с точностью до пятнадцати знаков после запятой вид
§4. Функция и её предел.
1. Понятие функции. Пусть и - непустые числовые множества. Если каждому элементу по некоторому закону ставится в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве задана функция , при этом переменная называется аргументом или независимой переменной, множество называется областью определения функции. Совокупность всех значений называется областью изменения функции.
Примеры функций.
1. . Эта функция определена на всей числовой прямой . Областью изменения является полупрямая .
2.
Областью определения является множество . Область изменения состоит из двух точек: 0 и 1.
3.
2. Предел функции по Гейне и по Коши. Пусть – бесконечное числовое множество.
Точка бесконечной прямой называется предельной точкой множества , если в любой окрестности точки (т.е. в любом интервале ) имеются точки множества , отличные от точки .
Замечание. Точка может, как принадлежать множеству , так и не принадлежать ему.
Например, для интервала очевидно, является предельной точкой. Однако . Для сегмента точка является предельной точкой. В последнем случае .
Пусть функция определена на множестве и точка предельная точкой этого множества.
Предел функции по Гейне. Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности значений аргументов , сходящейся к , элементы которой отличны от соответствующая последовательность сходится к числу .
Предел функции по Коши. Число называется пределом функции в точке , если для любого положительного числа найдётся положительное число , такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство
Замечание. Отметим, что в определении предела функции по Гейне говорится, что элементы отличны от , а в определении предела по Коши, что . Эти требования вызваны тем, что функция может быть не определена в точке .
Докажем теперь эквивалентность приведенных определений.
Пусть является пределом функции по Коши. Возьмём произвольную последовательность элементов , отличных от и сходящихся к . Тогда для произвольного найдется такое положительное число что при всех значениях аргумента для которых выполнено неравенство будет выполнено . Так как последовательность сходится к , то для числа существует такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство . Но для таких аргументов справедливо неравенство
.
Итак, для любого существует такой номер , что для всех номеров , выполняется
Следовательно, число является пределом последовательности .
Таким образом, если является пределом функции в точке по Коши, то является пределом функции и по Гейне.
Докажем теперь обратное. Пусть - предел функции по Гейне. Предположим, что не является пределом функции по Коши. Тогда должно существовать такое положительное число , что для произвольного положительного числа , найдется, хотя бы одно значение аргумента , для которого , но .
Возьмём последовательность , где . Для каждого должен существовать такой элемент , для которого выполнены неравенства: (2) и . (3).
Из неравенства (2) следует, что последовательность сходится к и состоит из чисел, отличных от . Тогда по условию последовательность сходится к числу . В тоже время, из неравенства (3) следует, что последовательность не сходится к . Т.е. получаем противоречие, что вызвано предположением о том, что число не является пределом функции по Коши. Итак, эквивалентность приведенных определений доказана.