Глава 6. Основы дифференциального исчисления.

§1. Производная.

1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.

Пусть функция определена на некотором интервале . Фиксируем любое значение из указанного интервала. Пусть приращение такое, что значение также принадлежит интервалу . Приращением функции в точке , соответсвующим приращению аргумента назовем число .

Из определения непрерывной функции и определения приращения функции следует, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда . Т.е. функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда . Иначе говоря, когда является бесконечно малой функцией при .

2. Определение производной.

Считая, что , рассмотрим отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента

Выражение в правой части равенства (2) называется разностным отношением в точке . Поскольку значение считаем фиксированным, то разностное отношение (2) представляет собой функцию от аргумента . Эта функция определена для всех значений аргумента , принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки , за исключением самой точки . Таким образом, мы можем рассмотреть вопрос о существовании предела разностного отношения (2) при .

Если существует предел разностного отношения в точке при , то значение этого предела называется производной функции в точке и обозначается .

Итак, по определению

Заметим, что если функция определена и имеет производную в каждой точке интервала , то эта производная будет представлять собой функцию переменной , также определённую на интервале .

3. Геометрический смысл производной.

Пусть функция определена на интервале и имеет в данной точке интервала производную . Пусть точка на графике функции соответствует значению аргумента , а точка - значению

Проведём через точки и прямую и назовём её секущей. Обозначим через угол между секущей и осью .

Касательной к графику функции в точке будем называть предельное положение секущей при или, что тоже самое при .

Из определения следует, что для существования касательной в точке достаточно, чтобы существовал предел , причём предел равен углу наклона касательной к оси .

Справедливо следующее утверждение.

Если функция имеет в данной фиксированной точке производную, то существует касательная к графику функции в точке , причём угловой коэффициент этой касательной равен производной .

Докажем теперь сформулированное выше утверждение. Опустим из точек и перпендикуляры на ось и обозначим через точку пересечения прямой, проходящей через точку параллельно оси с перпендикуляром, опущенным из точки на ось абсцисс. Из треугольника находим

Таким образом,

.

Так как функция имеет производную в точке , то существует . Отсюда в силу непрерывности функции для всех значений u следует, что существует предельное положение секущей, т.е. существует касательная к графику функции в точке , причём угол наклона этой касательной к оси равен или .

Уравнение касательной прямой. Пусть функция имеет производную в точке . Согласно доказанному выше утверждению, к графику данной функции в точке можно провести касательную прямую. Записывая уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент , мы получим уравнение касательной прямой