Глава 2

ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Процесс создания математических моделей трудоемок, длите­ лен и связан с использованием труда различных специалистов до­ статочно высокого уровня, обладающих хорошей подготовкой как

впредметной области, связанной с объектом моделирования, так и

вобласти прикладной математики, современных численных мето­ дов, программирования, знающих возможности и особенности со­ временной вычислительной техники. Отличительной особенностью математических моделей, создаваемых в настоящее время, являет­ ся их комплексность, связанная со сложностью моделируемых объектов. Например, при моделировании процессов деформирова­ ния различных конструкций под действием приложенной нагруз­ ки приходится учитывать не только происходящие при деформи­ ровании процессы массопереноса, но и теплоперенос, а также свя­ занные с этими процессами изменения структуры и свойств материала.

Внекоторых случаях необходимо учитывать влияние различ­ ных видов излучения, воздействия гравитационных и электромаг­ нитных полей, предыстории деформирования. Кроме того, для современных моделей характерно представление объекта модели­ рования в виде более или менее сложной системы взаимодейству­ ющих элементов.

Все отмеченные выше особенности приводят к усложнению мо­ дели и необходимости совместного использования нескольких те­ орий (нередко —из разных областей знания), применения совре­ менных вычислительных методов и вычислительной техники для получения и анализа результатов моделирования.

Внедрение вычислительной техники во все сферы человечес­ кой деятельности привело к повсеместному использованию мате­ матических моделей. Заметим, что ЭВМ —это только «железо», а «умным» и полезным его делают программы, которые в большин­ стве случаев являются реализациями алгоритмов соответствующих математических моделей. Поэтому необходимо создание большого количества разнообразных математических моделей с широкими воз­ можностями, отвечающих различным, зачастую противоречивым, требованиям. В случае сложных объектов удовлетворить всем предъявляемым требованиям в одной модели обычно невозможно. Приходится создавать целый спектр моделей одного и того же объекта (в некоторых случаях —иерархическую совокупность «вло­ женных» одна в другую моделей), каждая из которых наиболее эф­ фективно решает возложенные на нее задачи. Например, в конст­ рукторской и технологической практике, как правило, применяет­ ся широкий спектр моделей —от простых расчетных формул (часть из которых представляет собой аппроксимацию экспериментальных данных) на первоначальной стадии до весьма сложных моделей, при­ ближающихся к исследовательским на завершающей стадии разра­ ботки конструкции или технологического процесса.

Модели, ориентированные на исследовательские цели, способ­ ны представлять объект в широком диапазоне исходных парамет­ ров с удовлетворительной точностью. При этом практически нет ог­ раничений по сложности подобной модели, а также времени, зат­ рачиваемом на получение результатов.

Исследовательские модели могут быть ориентированы как на количественные, так и на качественные результаты. К моделям, ис­ пользуемым в автоматизированных системах управления (АСУ), в отличие от исследовательских, предъявляются достаточно жесткие ограничения относительно времени, затрачиваемого на получение результатов, а также точности самих результатов.

Необходимость массового построения моделей требует разра­ ботки некоторой совокупности правил и подходов, которые позво­ лили бы снизить затраты на разработку моделей и уменьшить ве­ роятность появления трудно устранимых впоследствии ошибок. Подобную совокупность правил можно было бы назвать техноло­ гией создания математических моделей.

Процесс построения любой математической модели можно представить последовательностью этапов, представленных на рис. 2.1.

Обследование объекта моделирования и формулировка технического задания на разработку модели

(содержательная постановка задачи)

*

гКачественный анализ и проверка корректности модели

— 4

Выбор и обоснование выбора методов решения задачи

Проверка адекватности модели

гПрактическое использование построенной модели

Рис. 2.1. Этапы построения математической модели

2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ

Первоначальная формулировка проблемыявля­ ется самой трудной частью, так как здесь необ­ ходимо все время использовать своимысли, позднее взамен ихможет использоваться математика.

А. Эддингтон

Математические модели, особенно использующие численные методы и вычислительную технику, требуют для своего построения значительных интеллектуальных, финансовых и временных затрат. Поэтому решение о разработке новой модели принимается лишь в случае отсутствия иных, более простых путей решения возникших проблем (например, модификации одной из существующих моде­ лей). Необходимость в новой модели может появиться в связи с про­

ведением научных исследований (особенно —на стыке различных областей знания), выполнением проектных и конструкторских ра­ бот на производстве, созданием систем автоматического управле­ ния, планирования и контроля. Человека или организацию, заин­ тересованных в разработке новой математической модели, для крат­ кости будем называть заказчиком. После принятия решения о необходимости построения новой математической модели заказчик ищет исполнителя своего заказа. В качестве исполнителя, как пра­ вило, может выступать рабочая группа, включающая специалистов разного профиля: прикладных математиков, специалистов, хорошо знающих особенности объекта моделирования, программистов.

Итак, если решение о создании модели принято и рабочая груп­ па сформирована, то можно приступать к этапу обследования объек­ та моделирования. Основной целью данного этапа является подго­ товка содержательной постановки задачи моделирования.

Перечень сформулированных в содержательной (словесной) форме основных вопросов об объекте моделирования, интересую­ щих заказчика, составляет содержательную постановку задачи мо­ делирования.

Подготовка списка вопросов, на которые должна ответить но­ вая модель, зачастую является самостоятельной проблемой, требу­ ющей для своего решения специалистов со специфическими зна­ ниями и способностями. Они должны не только хорошо разбираться

впредметной области моделирования, знать возможности современ­ ной вычислительной математики и техники, но и быть достаточно коммуникабельными, т.е. уметь общаться с людьми, «разговорить» практиков, хорошо «чувствующих» объект моделирования, нюан­ сы его поведения. Подобных специалистов в настоящее время на­ зывают постановщиками задач.

На основании анализа всей собранной информации постанов­ щик задачи должен сформулировать такие требования к будущей модели, которые, с одной стороны, удовлетворяли бы заказчика, а с другой —позволяли бы реализовать модель в заданные сроки и

врамках выделенных материальных средств.

Специалисты-постановщики должны обладать способностью из большого объема слабо формализованной разнообразной информа­ ции об объекте моделирования, из различных нечетко высказанных и сформулированных пожеланий и требований заказчика к буду­ щей модели выделить то главное, что может быть действительно ре­ ализовано. Из перечисленных требований, предъявляемых к поста­ новщикам задач, видно, насколько велика возложенная на них от­

ветственность и насколько могут быть тяжелы допущенные ими ошибки и просчеты. Неправильная оценка срока и стоимости реа­ лизации требуемой модели может привести к неудаче всего проек­ та, к напрасной потере времени и средств.

Специалисты, предрасположенные к работе в качестве поста­ новщиков задач, особенно ценятся и являются, без преувеличения, золотым фондом научных коллективов. По этому поводу Г.Биркгоф отмечает, что прикладники-математики, «способные к глубоко­ му общению с другими учеными и инженерами и знакомые с мощью и ограничениями цифровых машин, ... призваны стать вождями завт­ рашнего математического мира, но их будет крайне трудно найти и развить» [12]. С учетом данного высказывания, а также имея в виду конечную цель деятельности рабочей группы —построение матема­ тической модели, —представляется целесообразным рекомендовать в качестве руководителя группы именно прикладника-математика.

Этап обследования проводится членами рабочей группы под ру­ ководством постановщиков задач и включает следующие работы:

>тщательное обследование собственно объекта моделирования

сцелью выявления основных факторов, механизмов, влия­ ющих на его поведение, определения соответствующих па­ раметров, позволяющих описывать моделируемый объект;

>сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных об объектах-аналогах, проведение при необходимости дополни­ тельных экспериментов;

>аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей данного объекта (или подобных рассматриваемому объекту);

>анализ и обобщение всего накопленного материала, разра­

ботка общего плана создания математической модели.

На основе собранной информации об объекте моделирования по­ становщики совместно с заказчиком формулируют содержательную постановку задачи моделирования, которая, как правило, не быва­ ет окончательной и может уточняться и конкретизироваться в про­ цессе разработки модели. Однако, с учетом изложенного выше, все последующие уточнения и изменения содержательной постановки должны носить частный, не принципиальный характер. Если объек­ том моделирования является технологический процесс, машина, конструкция или деталь, то содержательную постановку задачи моделирования очень часто называют технической постановкой задачи.

Весь собранный в результате обследования материал о накоп­ ленных к данному моменту знаниях об объекте, содержательная по­ становка задачи моделирования, дополнительные требования к ре­ ализации модели и представлению результатов оформляются в виде

технического задания на проектирование и разработку модели.

Техническое задание является итоговым документом, заканчи­ вающим этап обследования, который, как уже отмечалось, являет­ ся очень важным и ответственным. Чем более полную информацию удастся собрать об объекте на этапе обследования, тем более четко можно выполнить содержательную постановку задачи, более пол­ но учесть накопленный опыт и знания, избежать многих сложно­ стей на последующих этапах разработки модели. Особенно строго необходимо формулировать требования к будущей модели. Некон­ кретные и нечеткие требования могут серьезно затруднить процесс сдачи модели заказчику, вызвать бесконечные доработки и улуч­ шения. В целом этап проработки технического задания может со­ ставлять до 30% времени, отпущенного на создание всей модели,

идаже более —с учетом возможного уточнения и переформули­ ровки.

Понимая огромную важность рассматриваемого этапа, техни­ ческое задание следует подвергать внутренней (внутри организации)

ивнешней экспертизе независимыми экспертами, не участвующи­ ми в его разработке. Обязательным условием на этапе разработки технического задания является участие в его обсуждении всех чле­ нов рабочей группы. Ниже приведен пример содержательной по­ становки задачи о баскетболистке.

Пример. Содержательная постановка задачи о баскетболисте.

Разработать математическую модель, позволяющую описать по­ лет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную кор­ зину.

Модель должна позволять:

•вычислять положение мяча в любой момент времени;

•определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.

Исходные данные:

•масса и радиус мяча;

•начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча;

•координаты центра и радиус корзины.