- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
Задания для самостоятельного выполнения
1. Сформулируйте и запишите нечеткие отношения предпочтения между элементами множеств X и Yf Y и Z, если:
ЛГ = {лес, кирпич, пенобетон}, Y = {железо, шлакобетон, брус}, Z = {гипсоблоки, ракушечник, бетон}.
Определите произведение этих отношений.
2.Приведите примеры и запишите числовые и нечисловые нечеткие
илингвистические переменные.
3.Для универсального множества U = (a, b, с, d, eff,g) и нечетких подмножеств
А = (0 ,0/а; |
0,3/Ь; |
0,7/с; |
1,0/d; 0,0/*; 0,2//; 0,6/*), |
|||
В = (0,3/а; |
1,0/4; |
0,5/с; |
0,8/5; 1,0/*; |
0,5//; |
0,6/*), |
|
С= (1,0/а; 0,5/Ь; 0,5/с; 0,2/5; 0,0/*; 0,2//, 0,9/*) |
||||||
найдите: |
|
|
|
|
|
|
а) |
>4п5; |
б) >4и5; |
в) >4о5; |
г) |
(>4и5)°С; |
|
д) |
(АоВ)°С\ е) >405; |
ж) >405; |
з) |
(>4оЛ)и>4; |
||
и) А/В\ |
к) >4-5; |
л) >4х5хС; |
м) |
>40С. |
|
|
4. Для нечетких подмножеств из упр. 3 вычислите: |
|
|||||
а) >4 5; |
|
б) 5 + С - А ; |
в) А / С + 5; |
г) ( A - Q / B ; |
||
д) (>4 —5)/(>4 —О; |
е) >4050С; |
ж) А- (50С ). |
|
|||
5. Определите обычные подмножества a -уровня для нечеткого мно |
||||||
жества А = (0,7/д; |
0^5/4; 1,0/с; 0,2/d; 0,6/с), если: |
|
||||
а) а = 0,1; |
б) а |
= 0,6; |
в) а = 0,8; |
г) |
а = 0,9. |
|
Запишите разложение нечеткого множества А.
6. Введите правила для определения понятий чрезмерно и достаточ
но.
7.Сравните нечеткие числа
А= (0,2/3; 0,8/4; 0,4/5; 0,2/6) и 5 = (0,1/3; 0,95/4; 0,3/5).
Для сравнения используйте все известные индексы ранжирования. 8. Концептуальная постановка задачи состоит в следующем: два ис требителя из противоборствующих воздушных армий руководствуются
стратегиями:
А: если снарядов мало, то вероятность поражения противника малая, иначе не малая.
В: если снарядов не мало, вероятность поражения противника боль шая, иначе не большая.
Известно, что:
мало снарядов = (0,8/3; 0,4/15; 0,3/30), малая вероятность = (0,1/0,9; 0,5/0,5; 0,8/0,1),
большая вероятность = (0,8/0,9; 0,5/0,5; 0,3/0,2). Число снарядов не очень мало. Кто победит?
9. На участке имеется N однотипных станков. Производительность одного станка такова, что в среднем в течение смены на нем можно обработать ц деталей. Детали поступают на обработку партиями по М штук. Партии поступают неравномерно и их поток близок к пуассонов скому. Интенсивность поступления составляет X партий в смену. Пост ройте граф состояний данной СМО и запишите систему уравнений Кол могорова для финальных вероятностей.
10.Мастерская по ремонту имеет складское помещение на М мест.
Вмастерской работают N мастеров, обеспечивающих среднее время ре монта Т. Интенсивность поступления заявок X. Если все мастера заня ты и склад заполнен, то заявка отклоняется. Постройте граф состояний данной СМО и запишите систему уравнений Колмогорова для финаль ных вероятностей.
11.Определите требуемое число коек в стационаре больницы, если среднее время выздоровления одного больного составляет 21 день. Но вые больные не принимаются, если все койки в стационаре заняты. Поток поступления больных близок к пуассоновскому с интенсивностью 3 человека в день. Вероятность отказа не должна быть выше 95%.
12.Определите среднюю длину очереди в кассу магазина, если сред нее время обслуживания одного покупателя составляет 0,3 мин. Поток покупателей близок к пуассоновскому с интенсивностью 3 покупателя в минуту. Сколько необходимо установить касс, если интенсивность потока возрастет в 5 раз? Средняя длина очереди при этом не должна превышать 10 человек.