При У = 1,2 имеем ДtA < 1,67, а для У* = 1,5 —соответственно AtA< 1,33, что практически совпадает с предельными значениями AtA, приведенными на рис. 3.17 и полученными в результате вы­ числительного эксперимента.

3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Колебательные движения механических систем широко распро­ странены в технике: качания маятников, движения поршней дви­ гателей внутреннего сгорания, колебания струн, стержней и плас­ тин, вибрации двигателей, фундаментов и множество других по­ добных процессов. Много внимания уделяется механическим и электрическим колебаниям в стандартном курсе физики средних учебных заведений.

Содержательная постановка задачи

Тело, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, прикреп­ лено к неподвижной стене пружиной. Исследовать колебательные движения тела. Масса тела и жесткость пружины известны.

Концептуальная постановка задачи

Примем следующие предположения:

>объектом исследования является поступательно движущее­ ся тело массой т, принимаемое за материальную точку;

>движение тела подчиняется второму закону Ньютона;

>тело находится под действием трех сил (рис. 3.18): силы тя­ жести mg, реакции поверхности N и силы упругости Fe пру­ жины. Так как поверхность гладкая, то силой трения пренеб­ регаем;

>тело совершает прямолинейные колебательные движения, так как сила тяжести mgуравновешивается силой реакции повер­ хности N;

>в уравновешенном состоянии центр масс тела находится в по­ ложении с координатами (хр, ур);

>при малом растяжении пружины величину возникающей в ней силы упругости можно представить линейной зависимо­

стью (закон Гука) F. = сАх, где А х = х - х п —растяжение пружины (отклонение тела от положения равновесия Хр), с — жесткость пружины. Направлена сила в сторону положения равновесия.

Принимая, что в некоторый момент пружину растянули на ве­ личину х0 и сообщили телу скорость v0, требуется определить ко­ ординату и скорость тела как функции времени.

Математическая постановка задачи

С математической точки зрения имеем задачу Коши

f- <3-47>

при следующих начальных условиях:

Требуется найти решение данной задачи.

Решение задачи

Введем обозначение для производных по времени:

dt\dt J dt

Тогда, принимая Xp = 0, обыкновенное дифференциальноф-уравне- ние (3.47) можно переписать в виде

где к2 = с/т. Уравнение (3.49) является линейным дифференциаль­

ным уравнением второго порядка без правой части и называется

Введение в математическое моделирование

дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной точки.

Будем искать решение данного уравнения в виде

x=exp(/f). (3.50)

Подставляя (3.50) в (3.49), получим

Уравнение (3.51) называется характеристическим, имеющим в данном случае два мнимых корня:

r12=±ki. (3.52)

Общее решение уравнения (3.49) в этом случае можно привести к виду

х=С1cos(kt)+С2sin(fo). (3.53)

Подставляя начальные условия (3.48), получим XQ= (\ COS(0)+С2 sin(0),

Частоту к называют собственной частотой колеблющейся сис­ темы, или частотой ее свободных колебаний. Таким образом, модель (3.47), (3.48) описывает гармоническое колебательное движение с частотой к и периодом

зависящими не от начальных условий, а только от жесткости пру­ жины с и массы тела т.

Свойство независимости частоты или периода колебаний от на­ чальных условий (свойство изохронности колебаний) связано с ли-

Рис. 3.20. Зависимость точности интегрирования А по схеме Эйлера от величины шага интегрирования At и времени интегрирования Ттах:

Можно отметить, что с увеличением времени интегрирования шаг интегрирования должен уменьшаться. Например, если нас ин­ тересует поведение материальной точки на интервале от 0 до 400 Г, то шаг интегрирования не должен быть больше Ю-4 /!

Точность интегрирования существенно зависит от метода ин­ тегрирования. К соотношениям (3.47) можно применить модифи­ цированную схему Эйлера. В этом случае на шаге интегрирования движение точки считается не равномерным, а равноускоренным, т.е. при вычислении нового положения точки используется средняя на шаге интегрирования скорость движения. Тогда соотношения (3.60) имеют такой вид

vn+i = vn* ~ k2xnAt>

(3.61)

xn+l = xn + 0 ’5(vn + v n+0 At-

На рис. 3.21 приведены диаграммы изменения точности интег­ рирования Д в зависимости от величины шага At и времени 7 ^ ^ интегрирования для модифицированной схемы Эйлера.

Сравнивая эти кривые с диаграммами на рис. 3.20, можно от­ метить увеличение точности интегрирования с использованием мо­ дифицированной схемы примерно в 2 раза. Так, например, кривая 4 на рис. 3.21 практически совпадает с кривой 3 на рис. 3.20, т.е. при использовании модифицированной схемы Эйлера можно при­ менять по сравнению с обычной схемой Э йлера или в 2 раза боль­ ший шаг интегрирования или в 2 раза длиннее интервал интегри­ рования.