Рис. 6.4.Распространение ударной волны при ядерном взрыве: а —после­

довательные фотографии огненного шара; б — опытные данные (из кино­ фильма) располагаются на прямой автомодельного решения [9 7 ]

ной его гипотенузы с и для определенности меньшим из его ост­ рых углов <р, причем из анализа размерности следует S= (Pf(<р), где / —функция, значения которой безразмерны. Высота, перпенди­ кулярная гипотенузе, разбивает основной треугольник на два по­ добных ему прямоугольных треугольника. Очевидно, что их пло­

щади Sl =a2f ( <р), S2 =b2f(q>), где /(<р) - та же, что и в случае ос­

а2/(ср) + Z>2/(<p) = с2/(<р), откуда следует, что а2 + Ь2 = с2.

6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ

пленник собственных предпосылок.

У. Эко

В различных областях математической физики (задачах гидро­ динамики, переноса тепла, диффузии, химической кинетики) по­ являются своеобразные частные решения, которые при изменении

времени преобразуются одно из другого по правилу подобия. Для функции пространственной и временной переменных такое реше­ ние имеет вид

/ -» baf , образующего мультипликативную группу. В геометрии такое преобразование называется аффинным. Само решение (6.49) называется автомодельным [7, 41].

В ранее рассмотренном автомодельном решении (6.40) волно­ вого уравнения подобие сводится к параллельному переносу на­ чального профиля и не связано с изменением масштаба. В таком решении аргумент x±at =const, устойчивый относительно преоб­ разований трансляции t-*t+ b, x -* x -a b , образующих аддитив­ ную группу, может быть приведен к виду (6.49) с помощью заме­ ны х = Inх, / = In/: х?*®. Показатель степени Р=±а в (6.49) назы­ вается показателем автомодельности.

Наиболее важное свойство автомодельного решения состоит в том, что зависимость от аргументов входит через единственный комплекс. Поэтому подставляя (6.49) в уравнение в частных про­ изводных, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение. Его интегрирование существенно проще нахождения решения на­ чально-граничной задачи.

В сложных нелинейных задачах получение таких решений за­ частую остается единственно возможным средством «пробиться» через аналитические трудности и обрести понимание качествен­ ных особенностей явления. При обработке опытных данных авто­ модельность приводит к тому, что, казалось бы, беспорядочное в обычных координатах «облако» опытных точек располагается на единой кривой или поверхности, построенной в автомодельных координатах. Автомодельность привлекает внимание и как глубо­ кий физический факт, свидетельствующий о наличии определен­ ного типа стабилизации исследуемых процессов, имеющей место для достаточно широкого круга начальных и/или граничных усло­ вий.

Получим автомодельное решение линейного параболического уравнения диффузии [41]

Эр_,,Э2р

(6.50)

Э/ Эх2’

где р —плотность массы; к —коэффициент диффузии. Использу­ ем для построения автомодельного решения анализ подобия и раз­ мерности. Решение не может зависеть от естественного произво­ ла в выборе основных единиц измерения и, как следует из анали­ за размерности, должно представляться в виде функции единственно возможного безразмерного комплекса s = x^/ikt). По­ этому будем искать решение в виде

т.е. нам остается определить показатель а и функцию g. Показатель степени находится из закона сохранения масс

откуда a = —1/2 (почему?).

Подставляя решение (6.51) в (6.50), придем к соотношению

~g(s) - -£■ т = 4-?'(s) + g'(s) <=> Ssg'(s) + (2s+4)g'(*) + g(s) = 0.

Обыкновенные линейные дифференциальные уравнения вто­ рого порядка с переменными коэффициентами редко интегриру­ ются в квадратурах, но оператор в нашем случае оказывается представимым в виде произведения двух дифференциальных опе­ раторов первого порядка: (2sD+l)(4ZH-l)g = О, где D означает опе­ рацию дифференцирования. Интегрируя уравнение(2 sD + 1 ) /= 0

по частям, получаем / = B/yfs. Возвращаясь к функции g, будем

иметь для нее уравнение (4D+\)g = B/-Js o 4 g ' + g = В/-Is, реше­ ние которого

g(s) = С ех р Н /4 )+je x p (-j/4 )J -L exp(z/4)<fc 4

состоит из двух линейно независимых функций:

S j

g^s) - exp(-s/4)f-=exp(s/4)<fc, £2(<г) = exp(-s/4). 0 V5

10Введение в матемЙТНческое моделирование