ства покрыты «наростами», которые называют почками, каждая цз них подобна всему множеству в целом. На рис. 6.35 приведены увеличенные части границы множества.

Рис. 6.35. Границы множества Мандельброта (цифры указывают коорди­ наты участка границы множества Мандельброта в единичном квадрате)

Фрактальная размерность кластеров

Кластеры —комплексные соединения, в основе молекулярной структуры которых лежит объемная ячейка из непосредственно связанных между собой атомов, играющая роль центрального ато­ ма. Фрактальные кластеры —это структуры, образующиеся, напри­ мер, при:

•ассоциации твердых аэрозолей в газе при их диффузионном движении;

R = 32BQ; при и = 2 —число мономеров N =42, радиус кластера

R = 32RQ-, /i-поколение —число мономеров N =4", радиус класте­

ра R =3nRQ, т.е. триадные кластеры Кох удовлетворяют соотноше­

нию

где D =In3 /In4 —фрактальная размерность кластера, служащая

количественной характеристикой того, как кластер заполняет за­ нимаемое им пространство, но не описывающая его форму.

Примером кластера может служить множество точек, получен­ ных в процессе ограниченной диффузией агрегации (ОДА), D= 1,71 (такой кластер характерен для структур, динамика кото­ рых описывается уравнением Лапласа): модель протекания в по­ ристых средах, «вязкие пальцы» в ячейке Хеле-Шоу, вытеснение одной жидкости другой жидкостью с меньшей вязкостью.

Экспериментальные методы определения фрактальной размерности

Клеточная размерность. Для определения длины береговой линии ее покрывают, например, набором квадратов со стороной

6-»0 и подсчитывают их число N(5). Далее в двойных логариф­ мических координатах строят зависимость 1пЛГ(б)—1п(8). Так как

ос N(S)8d , то D определяется по углу наклона графика

D = (const - In N(8))/ln 6.

Отношение длина/ площадь, (определение D из соотношения между характеристиками множеств разной топологической размер­ ности). Например, площадь фигуры, ограниченной фрактальной границей, S ^ R 2 , а длина периметра L « RD, где R - характер­ ный размер. Тогда из соотношений S */2 « ]}!° следует, что

D = (const + In I? )/ln S ,

т.е. фрактальная размерность границы D определяется как тангенс угла наклона зависимости квадрата периметра I? от площади S,

построенной в двойных логарифмических координатах. Причем длина измеряется непосредственно (курвиметром) либо так же, как в задаче о береговой линии.

Более надежны методы, основанные на прямом эксперимен­ тальном определении величины N(5). Так, если имеется большое число одинаковых фрактальных кластеров, изображение которых фиксировано на прозрачной фотопластинке, то, пропуская через нее световой пучок толщиной г и измеряя интенсивность прошед­ шего света I, можно использовать формулу

D = (const - In /) / In г.

Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур

На спинках блох блошата есть, Кусают блох они там. Блошонок у блошат не счесть, Итак indefinite...

Даниель Дефо

Фотографии дендритов, полученные с помощью сканирую­ щего микроскопа, позволяют различать ветви до восьмого поколе­ ния. Анализ структуры наталкивает на мысль использовать для описания дендритной структуры фракталы. Как показывают экс­ перименты, в процессе роста дендрита происходит оплавление не­ которых его ветвей за счет флуктуаций температуры или концен­ трации элементов сплава, а также обламывание ветвей конвектив­ ными потоками жидкого металла, что не позволяет использовать для описания дендритов регулярные фракталы.

Вначале рассмотрим фрактальное описание уже сформировав­ шейся дендритной структуры (см. рис. 6.37). Будем считать, что частица представляется системой некоторых пространственных d-мерных фигур (элементарных фрагментов). Размеры этих фигур уменьшаются при переходе к следующему поколению. Нулевому поколению соответствует основной ствол частицы, имеющий ха­

рактерный размер 10 и объем v>0 = Gfl$ Здесь бу- —геометричес­

кий фактор, который зависит от типа фигуры, аппроксимирующей дендритные ветви, и не зависит от масштаба длины.

Рис. 6.37. Схема дендритной частицы со случайными геометрическими параметрами

Первое поколение состоит из рх ветвей, имеющих характерный размер /j = /0Д 1? тогда суммарный объем частицы после первого этапа построения

Второе поколение состоит из р2 ветвей, каждая из которых имеет длину /2 = /g/(fcj&2), а суммарный объем ветвей после вто­ рого этапа построения

одному закону распределения, а величины kt (/= 1 , п) —друго­ му. Если Pi = р= const и к( = к = const, т.е. имеет место регу­ лярный фрактал, то

где Dj = \пр/\пк, цп =1ц/кп.

Найдем математическое ожидание величины ьп для случайного фрактала. Так как pt и kt —независимые случайные величины, распределенные по своим законам, то обозначим математическое

ожидание соответствующих величин М(р{) = р, M(Jki) = k , а rf-й

начальный момент M(kf) = {kd} (/ = 1,..., и). Тогда математичес­

кое ожидание величины объема, занимаемого дендритом, имеет вид

При выводе соотношений (6.92) и (6.93) использовалась фор­ мула суммы п членов геометрической прогрессии со знаменателем

р/{кd } Отметим, что р/{к?} < 1; это условие гарантирует отсут­

ствие наложений фрагментов фрактала, обеспечиваемое видом со­ отношения (6.91).

Предположим, что выражение для среднего объема имеет тот

где Gj не зависит от масштаба длины и т|л =lQ/(k)n, т.е. предпо­ лагается статистическое самоподобие структуры. Определим вели­

чину фрактальной размерности Df для нерегулярного фрактала. Сравнивая (6.93) и (6.94), заметим, что

где D(k) —дисперсия случайной величины к. Если к —детерми­ нированная величина, то ее дисперсия равна нулю, и формула (6.98) примет вид выражения для фрактальной размерности само­

подобного регулярного фрактала: Dy = In p/lnk.

Для объемной фрактальной структуры d= 3 (например, для объема дендритной частицы)

случайной величины к [103].

В задаче кристаллизации необходимо определять суммарный объем растущего дендрита, поэтому параметры дендритной и, со­ ответственно, фрактальной структуры должны зависеть от време­ ни. Пусть растущий дендрит имеет форму, ограниченную парабо­ лой и прямой z = 0 в двумерном случае и параболоидом вращения и плоскостью z —0 в пространственном; его ось направлена вдоль оси Oz. Вершина дендрита перемещается равномерно вдоль оси Oz со скоростью v. Тогда уравнения, описывающие форму, имеют вид:

где a —параметр параболы (параболоида) - расстояние от фокуса до директрисы. В качестве характерного размера дендритной час­ тицы выберем расстояние от вершины до начала координат, рав­

ное IQ =(2vt+a)/2. Выбор данной формы растущего дендрита

обусловлен следующими причинами: во-первых, параболическая форма была получена аналитически в [47] в задаче исследования устойчивости границы раздела фаз; во-вторых, такая зависимость позволяет одновременно описать не только удлинение дендритных ветвей, но и их утолщение. Вычислим площадь (объем), ограни­ ченную параболой (параболоидом) и осью (плоскостью) z = 0: