По образцу, данному выше для квазилинейных систем (добав­ ляя к независимым переменным v), или элементарными сложени­ ем и вычитанием уравнений получаем:

£ (P + v )+ (v + n )|-(P + v ) = О,

Очевидно (см. (6.31),(6.34)), характеристиками системы будут

кривые, dx/dt = v ± а, на которщх постоянны соответствующие ве­

личины P±v. Здесь в отличие от системы, описывающей малые возмущения, а представляет собой поле местной скорости звука,

±а —относительные скорости распространения волн по газу. Вдоль первого семейства характеристик распространяется волна разрежения, вдоль второго —волна сжатия [63].

6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

Лишь первый исчез, как сейчас же в ином положении

Новый родится за ним, а нам кажет­ ся, - двинулся первый.

Лукреций

Вопросы о движении, переходе постепенных количественных изменений в качественные, появлении у целого свойств, которы­ ми не обладает ни одна из его частей, являются одними из клю­ чевых вопросов современного фундаментального естествознания. Эти вопросы имеют глубокие философские корни. Развитие есте­ ственных наук заставляет еще и еще раз возвращаться к ним. Уче­ ных XIX в. поразило наличие волновых свойств у света, который они представляли как поток дискретных частиц. К глубокому пе­ ресмотру фундаментальных понятий привело в XX в. создание квантовой механики. Оказалось, что дискретные и непрерывные свойства материи нельзя противопоставлять друг другу, что они неразрывно связаны между собой. Выяснилось и другое важное об­

стоятельство. Анализ многих явлений требует сочетания дискрет­ ного и непрерывного подходов. И вопрос о соотношении тех и других свойств при построении теории оказывается далеко не про­ стым. От его успешного решения часто зависит, насколько глубо­ ко нам удается разобраться в изучаемом объекте.

Рассмотрим задачу, при решении которой был развит ряд клю­ чевых идей. Проведем анализ поведения упругой струны, по ко­ торой ударили в начальный момент времени. Остановимся преж­ де на системе, состоящей из точечного груза массой т, к которо­ му прикреплены две одинаковые упругие горизонтальные нити длиной IQ / 2 , натянутые силой F0 (сила тяжести отсутствует). При отклонении груза от положения равновесия появляется возвраща­

ющая сила, пропорциональная отклонению F = -2 F0sinа - 4F Q U / I Q ,

тогда согласно второму закону Ньютона имеем:

(6.46)

Уравнение (6.46) описывает колебания с круговой частотой со:

и - A sinart+В costo/,

где константы А и В определяются начальными положением и скоростью груза. Мы решили задачу о колебании струны, вся масса которой сосредоточена в центре. Для однородной струны с массой т и длиной /0 это слишком грубое приближение; разумнее заме­ нить ее набором из N шариков с массой ц = m/N, расположенных на расстоянии h = /0/JVи соединенных нитями, натянутыми силой F0 (так рассуждали, в частности, при выводе уравнений колебаний струны Иоганн и Даниил Бернулли). Если ик —отклонение к-то шарика от положения равновесия, то при условии, что разница в отклонениях соседних шариков мала,

уравнение

Э 2 и

c2 = FQlQ/m.

Этот вывод уравнения впервые был сделан Даламбером, кото­ рый не только записал указанное уравнение, но и нашел его об­ щее решение (6.39) в виде суперпозиции двух волн

и = f(x+ ct) + g(x-ct).

Однако использовать данное решение для струны конечных размеров непросто. Действительно, после удара по струне вправо и влево идут волны. Они доходят до концов струны, отражаются, идут в обратную сторону —устанавливается некий режим, описы­ вать который с помощью полученной формулы неудобно. Возмо­ жен другой путь, предложенный Фурье. Так как струна соверша­ ет колебательные движения, решение задачи ищут в виде

и = {Asin сЩ+ В cos a>t)z(x),

что дает в итоге (см. разд. 6.4)

Решение нашлось в виде суперпозиции стоячих волн, для ко­ торых на длине струны укладывается целое число п полуволн. Соб­ ственные значения Хп определяют, с какой частотой может коле­ баться струна в конфигурации л-й стоячей волны, форму которой описывает собственная функция z„ = sin (nnx/l0).

Найденные решения по виду сильно различаются. Равноправ­ ность их не очевидна. Этот вопрос стал причиной дискуссии в середине XVIII в. (спор о струне) между Эйлером, Даламбером и Лагранжем. Дискуссия позволила убедиться не только в эквивален­ тности двух решений (ведь исходная задача имеет решение и оно единственное!), но и лучше разобраться в уравнениях. Решение, полученное Фурье, дает возможность выяснить соотношение не­ прерывного и дискретного в этой задаче. Если мы имеем автомо­ дельное решение волнового уравнения в виде стоячей волны

w = cn(Osin(n«x//0), то окажется, что для разных cn(t) получаются

уравнения

d 2c (t)

— ^ -- + co2cn(/) = 0, n =0, 1, 2,...

Но это опять уравнения колебаний. Значит, струна оказывается эквивалентной бесконечному множеству независимых колеблю­ щихся грузов.

Интересно и другое: в непрерывной задаче, описывающей ко­ лебания струны, есть дискретный набор собственных частот. Не­ прерывное и дискретное вновь оказываются тесно связанными.

Глубокая связь дискретного и непрерывного отмечена и в физике микромира, где в одних случаях материю удобно рассмат­ ривать как электромагнитную волну, а в других —как поток час­ тиц (квантов). Микрочастицы в некоторых опытах ведут себя как волны, например, испытывая дифракцию и интерференцию. В то же время было установлено, что свет (волна) квантуется, регист­ рируются дискретные порции света —фотоны. Оказалось, что и здесь довольно гармоничный дуализм может быть описан с помо­ щью линейного уравнения математической физики —уравнения Шредингера. Выражение простейшей (плоской) волны, описыва­ ющей колебания в пространстве с частотой со и волновым векто­ ром к, записывается как exp (/foe —/со/).

Сопоставим этой волне частицу с энергией Е= цсо и импуль­

сом p = h k , где h —постоянная Планка. Выразив со и £ из после­ дних соотношений и подставив их в формулу для волны, получим волновую функцию для частицы с энергией Е и импульсом р:

■Р .Е .

у(х,/) = ехр l-X -1 —t

Эта комплексная функция определяет плотность вероятности нахождения частицы во времени и пространстве. Нетрудно убе­ диться в справедливости тождеств

и - к

/ Э/

Но это означает, что энергия Е является собственным значением

ем оператора -й2Д\у, при этом в обоих случаях выступает в ка­ честве собственной функции.

Если частица массы т движется в потенциальном поле V(x),

то в силу закона сохранения энергии Е = р2/2т+У Чтобы полу­

чить волновой аналог этого соотношения, мы должны заменить Е, р2 и V соответствующими дифференциальными операторами:

откуда и следует фундаментальное уравнение волновой и кванто­ вой механики

= + (6 -4 7)

открытое австрийским физиком Эрвином Шредингером в 1926 г. Оно описывает движение частицы в заданном потенциальном поле.

Квадрат амплитуды волновой функции J\|i(x,t)^*(x,t)dx = P(G,t)

G

определяет вероятность P{G,t) нахождения частицы в момент вре­ мени / в области G. Для оператора (6.47) можно поставить задачу на собственные значения:

в результате чего получим спектр Еп значений энергии частицы, которые она может принимать, двигаясь в заданном потенциаль­ ном поле. Соответствующие им собственные функции \|/„ показы­ вают, с какой вероятностью можно обнаружить частицу в разных точках пространства.

Решив уравнение Шредингера для кулоновского потенциала V= —е2//* (в —заряд электрона, г —расстояние до протона), мож­ но найти энергетические уровни атома водорода, с огромной точ­ ностью согласующиеся с экспериментом.

До появления уравнения Шредингера существовала матричная квантовая механика Гейзенберга, использующая в качестве аппа­ рата пространство бесконечномерных векторов с ограниченным скалярным квадратом. Теория же Шредингера использует вектор­ ное пространство функций с ограниченным скалярным квадратом