Рис. 3.14. Область устойчивого положения равновесия при Y* —1,5 (гх =гу = 1)

Численное исследование модели конкуренции популяций

Рассмотрим особенности численного исследования модели кон­ куренции популяций. Применим метод Эйлера для решения сис­ темы (3.32):

(3.40)

где A t —величина шага по времени; Хп и Yn —относительная чис­ ленность популяций на начало шага по времени; Xn+i и Yn+l —чис­ ленность популяций на конец шага по времени. Задаваясь началь­ ной численностью Х0 и Y0 и величиной шага по времени At, полу­ чаем таблицу значений численности в различные моменты времени.

На рис. 3.15 приведены бифуркационные диаграммы для соот­ ношений (3.40) при фиксированных значениях исходных данных. Как можно видеть, сходимость процесса существенно зависит от шага интегрирования. При значении шага более 1,94 процесс пе­ рестает сходиться и переходит к колебаниям, а при шаге более 2,5 становится хаотическим.

На рис. 3.16 приведены диаграммы сходимости (первые 50 ша­ гов) в фазовом пространстве и в зависимости от времени при раз­ личных величинах шага интегрирования. Анализ приведенных ди-

Рис. 3.15. Бифуркационные диаграммы для соотношений (3.40) (Х0 = 0,2; Y0 = 0,5; rx —ry — 1; рх = 0,5; ру = 0,7; Y* = l , l )

Y

Рис 3.16. Диаграммы сходимости для различных величин шага интегриро­ вания: а, в, д — фазовые диаграммы; б, г, е —временные диаграммы;

а, б — At — 2,0; в, г —At —2,4; д, е —At = 2,6

аграмм позволяет заключить, что данный процесс интегрирования быстро выходит в окрестность точки равновесия и далее соверша­ ются колебательные движения вблизи этой точки. Следует отметить синхронное изменение численности популяций.

С увеличением шага интегрирования амплитуда и сложность колебаний нарастают. При хаотическом режиме возможны ситуа­ ции, когда численность одной из популяций становится меньше нуля.

На рис. 3.17 приведены кривые изменения величины шага ин­ тегрирования A tA , при котором процесс сходимости переходит от монотонного к колебательному режиму (точка А на рис. 3.15). При-

Рис. 3.17. Величина шага интегрирования в зависимости от рх и fiv: а — Y *= 1,2; б - У* = 1,5 (Х0 = 0,2; Y0 = 0,5; rx =ry = l)

веденные диаграммы построены в зависимости от значений \ix и , которые удовлетворяли ограничению (3.35а). Построение выполне­ но по результатам вычислительного эксперимента, в котором зна­ чение AtA искалось для 2500 точек допустимой области (разбиение 50x50 точек).

Следует отметить, что величина AtA для допустимой области не превышает 2. При этом она уменьшается с ростом ц* и умень­ шением (jj,. С увеличением Y* наименьшее значение шага моно­ тонной сходимости уменьшается (ДtA = 1,674 при У*= 1,2 и AtA = 1,35 при У* = 1,5).Оценку для AtA можно получить из анализа ус­ тойчивости соотношений (3.40).

Положим:

где Х^, Yp —точка равновесия; Ах, Ау —малые отклонения от рав­

новесия.

Подставляя в (3.40) и преобразуя, получим:

Дх(л+1) = \ ( п ) -^А /Х р(ДХ(Л) +цхА^и)),

Ду(л+1)= Ду(л) ” гу ^ У р ^ у { п ) +^уДДс(л))

или, поделив на Ах^ и Ау^ ,

Итерационная процедура сходится, если выполняются ограничения

Считая А ^пу и Д в е л и ч и н а м и одного порядка и выбирая ме­

нее благоприятный случай, когда они одного знака, из (3.44) опре­ деляем ограничения на AtA:

Учитывая, что устойчивость процесса нарушается, если нару­ шается хотя бы одно из ограничений (3.45), окончательно имеем

Для рассмотренной выше четвертой точки равновесия макси­ мальное и минимальное значения оценки величины шага интегри­ рования AtА можно определить, когда |ix или равны нулю. Так,

при = 0 и rx = ry = 1 имеем Хр = 1; Yp = Y* -ц у.

При приближении значения к Г величина Yp -»0. Из (3.46) в этом случае получаем ограничение на шаг интегрирования ДtA < 2.

При jiy= 0 получаем Хр =1 -ц хУ*; Yp = Y*

При приближении значения к 1/Г величина Х р -* 0 и ог­ раничение на ДtA принимает вид ДtA < 2/У