Непрерывное вейвлет-преобразование

из которого, в частности, следует

Напомним, что в фурье-анализе спектральной плотностью энергии является величина Е{<в)=| /(со) |2 (называемая также спе^_ тром энергии) и введем величину

М(а)= j | w(a,b) р db,

которая характеризует интенсивность всех пульсаций заданно^ маспггаба. Если в определении вейвлет-преобразованил положить к = - 1/2, то формулу (6.87) можно переписать в виде

В этом случае М{а) описывает распределение энергии пульса­ ций по масштабам и называется интегральным вейвлет-спектрем.

Из сказанного следует, что нормировка к = —1/2 должна исполь­ зоваться, если результаты вейвлет-анализа предполагается сопос­ тавлять с фурье-представлением сигнала. Действительно, если фу- рье-спектр следует степенному закону Е(а>) - со®, то при этой нор­ мировке интегральный вейвлет-спектр будет иметь тот лее степенной закон М(а) ~ а~а ~ соа (это вытекает из формулы (6 .88) с учетом того, что со~ 1/а , a d® ~-da/a2).

Вейвлет-преобразование отображает пространство функций одной переменной (время) в пространство функций двух перемен­ ных (время и частота, или время и масштаб) и является избыточ­ ным. Избыточность непрерывного вейвлет-преобразования выра­ жается в коррелированности вейвлет-коэффициентов, которая тем больше, чем больше рассматриваемый масштаб Иначе говоря, чем больше масштаб, тем меньше независимых точек в вейвлет-разло­ жении. Этот недостаток устраняется в дискретном вейвлет-пред­ ставлении (пример тому - рассмотренный выше иерархический базис, в котором число функций геометрически уменьшается с ростом пространственного масштаба).

Преимущество вейвлет-преобразования перед преобразовани­ ем Фурье состоит в том, что оно позволяет проследить за измене­ нием спектральных свойств сигнала со временем и указать, какие частоты (масштабы) доминируют в сигнале в каждый конкретный момент времени.

На рис. 6.17,с,5, показаны два примера вейвлет-разложения простых временных сигналов с помощью вейвлета Морле (6.81). В верхней части каждого рисунка показан модуль вейвлет-разло­ жения на плоскости (а, Ь), а в нижней —фаза. На рис. 6.17,с сиг­ нал представляет собой суперпозицию двух гармоник, а в сигнале на рис. 6.17,5 эти же две частоты появляются последовательно друг за другом. Фурье-преобразования этих двух сигналов практически не отличаются друг от друга, так как спектр Фурье теряет всякую информацию о том, когда какая гармоника присутствовала в сиг­ нале. Вейвлет-анализ позволяет восстановить полную эволюцию спектрального состава сигнала во времени.

Рис. 6.17. Вейвлет-разложение Морле сигнала, изображенного в нижней части рисунка

Общее представление о спекгрально-временнбй структуре сиг­ нала можно получить по распределению модуля вейвлет-преобра­ зования. Ширина полосы при разложении гармонического сигна-

11Введение в математическое моделирование

ла характеризует спектральное разрешение используемого анали­ зирующего вейвлета. Распределение фазы вейвДет-преобразования менее информативно, особенно для сложных сигналов. В то же самое время именно фаза дает наиболее точную информацию об особенностях (сингулярностях) в сигнале. Тал, на рис. 6.17,5 мож­ но видеть, что именно по распределению фазы можно с большой точностью идентифицировать момент смены частоты.

На рис. 6.18 показан результат вейвдет-разложевдя сигнала, представляющего собой суперпозицию двух гармонических состав­ ляющих с непрерывно меняющимися частотами (снова использо­ ван вейвлет Морле). Сам сигнал показан в нижней части рисун­ ка, модуль вейвлет-разложения —в верхней части. ВеЙвлет-пред- ставление позволяет получить точный вид эволюции частоты каждого из двух сигналов.

Рис. 6.18. Модуль вейвлет-разложения Морле сигнала, график которого приведен в нижней части рисунка

На рис. 6.19 дан пример использования действительного вей­ влета типа (6.80). В качестве сигнала использован тот же времен­ ной ряд, что и в примере на рис. 6.17,5 (удвоение частоты гармо­ нических колебаний). В этом случае результатом преобразования является действительная величина, модуль которой показан на

Рис. 6.19. Вейвлет-разложение сигнала, показанного в нижней части рисунка, с использованием вейвлета «мексиканская шляпа»

рисунке. Белые полосы на вейвлет-плоскости, неизбежно появля­ ющиеся при работе с вещественными функциями, соответствуют смене знака вейвлет-коэффициентов и содержат, по сути, инфор­ мацию, которую в комплексном представлении несет фаза.

В заключение отметим важное свойство вейвлет-представления функций —на этапе разложения сигнала по вейвлетам (анализа) и этапе восстановления исходного сигнала по его вейвлет-образу (синтеза) можно использовать различные семейства вейвлетов.

Пусть для анализа используется вейвлет \|/(/), а для синтеза —

вейвлет <р (t). Тогда прямое преобразование по-прежнему описы­ вается выражением (6.82), а формула восстановления сигнала (6.84) примет вид

(6.89)

Восстановление (6.89) возможно, если выполнено условие

Это условие «мягче», чем условие (6.83), так как теперь один из двух вейвлетов может и не удовлетворять требованию (6.83) (но при условии, что его «недостатки» компенсирует вейвлет, исполь­ зуемый на втором этапе). Преимущество восстановления по фор­