Качественный анализ задачи

с корнями

Взависимости от соотношения п и к имеем три случая:

1)п < к — затухающее колебательное движение. В этом случае имеем комплексно-сопряженные корни характеристического урав­

нения rl>2= -n±ikn, , где kn = ык2 - п 2. Решение задачи можно при­ вести к виду

где

На рис. 3.23 показаны изменения координаты и скорости тела, полученные для условий т = 1 кг, с = 2500 Н/м, х0 = 0 м, v0 = 1 м/с, ц. = 10 Н с/м.

Рис. 3.23. Координата (а) и скорость (б) центра масс тела в вязкой среде

На рис. 3.24 представлена фазовая траектория для данного слу­ чая. В отличие от предыдущей задачи наличие сопротивления (дис­ сипации механической энергии) приводит к тому, что фазовая тра­ ектория оказывается спиралью с уменьшающимся радиусом, стре­ мящимся к нулю, т.е. точка равновесия является устойчивым фокусом.

Рис. 3.24. Фазовая траектория движения точки в вязкой среде

Период колебаний

(3.71)

kn ^ l - ( n /k f

где Т0 = 2л/к —период свободных колебаний при отсутствии сил

сопротивления. Как следует из закона движения (3.69), амплитуда колебаний при наличии сил сопротивления с течением времени убывает. Натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд называется логарифмическим декрементом (затухания):

2)п> к — апериодическое движение. При достаточно большом

сопротивлении, когда к%= п2 - к2 >0, решение примет вид

Движение в этом случае не будет носить колебательный характер. На рис.3.25 показаны различные случаи апериодического движе­ ния в зависимости от начальной скорости v0 точки. Случаи а) и б) на рис. 3.25 относят к апериодическому движению первого рода, а случай в) —второго рода.

Как и в предыдущем случае, движение не будет колебательным. Вид траектории движения точки в зависимости от соотношения зна­ чений XQи V0 аналогичен траекториям, представленным на рис. 3.25.

Задания для самостоятельного выполнения

1. Арка моста состоит из двух одинаковых половинок. К опорам каж­ дая из половинок крепится с помощью цилиндрических шарниров, а между собой —одним шаровым шарниром. Длина пролета моста Z, высо­

та пролета А, ширина моста w. Каждая из половинок состоит из двух эле­ ментов ABCD и ВЕМС, поперечное сечение которых является прямоуголь­ ной трапецией, одинаковой по всей ширине моста. Требуется найти та­ кие размеры а и Ь, при которых горизонтальные реакции опор были бы минимальны. Удельная плотность материала арок моста у.

данных: а = 3, b = 2, с = 6 , g = 8 . Определите, в каких пределах может

изменяться начальная цена.

5. Постройте экономическую модель спроса и предложения в пред­ положении, что справедливы зависимости

V l = < ”-*> dn+1 =£exp(-C/>n+1),

где а, b, с, g > 0; 0 < т < 1. Проведите анализ изменения цен в зависи­ мости от начальной цены при следующих исходных данных: а = 3 , Ь= 2 , с = 1, g = 8 , т = 0,5. Определите, как влияет значение начальной цены на

сходимость решения.

6 . Пусть в некоторой местности обитают две популяция животных,

причем животные одной популяции относятся к хищникам, а другой —к травоядным, служащим пищей для хищников. Для описания подобных систем «хищник-жертва» французский математик Вольтерра в 30-е годы XX века предложил следующую математическую модель:

где х - численность популяции жертв, у —численность популяции хищ­ ников.

Предложите систему гипотез, на основании которых Вольтерра запи­ сал свою математическую модель. Какая модель (Мальтуса или Ферхюльста) была использована для описания изменения численности жертв? Проведите качественный анализ этой системы уравнений. Выполните анализ численной схемы Эйлера для системы «хищник—жертва».

7. Используя модель Ферхюльста для описания поведения жертв, предложите свой вариант математической модели «хищник—жертва». Про­ ведите качественный анализ полученной системы уравнений. Выполните анализ численной схемы для данной системы.

8 . При изучении развития эпидемии некоторого заболевания обычно

выделяют три группы людей: х —группа людей, восприимчивых к данно­ му заболеванию, но еще не заразившаяся им; у —группа уже больных или инфицированных людей, которые могут выступать разносчиками болез­ ни; z —группа людей, невосприимчивых к этой болезни или получившие иммунитет после перенесенного заболевания. Один из вариантов матема­ тической модели развития эпидемии может быть записан в следующем виде:

Предложите систему гипотез для обоснования данной модели. Поясните смысл коэффициентов а и Ь. Проведите качественный анализ получен­ ной системы уравнений. Выполните анализ численной схемы для этой си­ стемы. Предложите другие варианты моделей эпидемии с учетом:

а) изменения общей численности населения, связанные с рождени­ ями и естественными смертями;

б) смертности от данного заболевания;

в) непостоянства доли заболевших людей.

9. Одна группа медиков ищет спонсоров для исследований стоимос­ тью в 1 млн долл, и рассчитывает за один год получить вакцину, которая позволит уменьшить коэффициент а (см. предыдущий пример) на 25%. Другая группа медиков предлагает за один год тоже за 1 млн долл, найти лекарство, которое увеличит на 25% коэффициент Ь. Если у спонсора есть только 1 млн долл., то какую группу медиков он должен поддержать?

10. Для модели свободных колебаний тела получите разностные со­ отношения с применением схемы Рунге-Кутта. Разработайте алгоритм решения системы полученных разностных уравнений и реализуйте его на персональном компьютере. Постройте диаграммы точности интегрирова­ ния А от величины шага интегрирования At и времени интегрирования Гтах. Сравните полученные результаты с приведенными выше результа­ тами по другим схемам интегрирования.

11. Разработайте алгоритм численного решения задачи о движении

маятника при наличии силы вязкого сопротивления и реализуйте его на персональном компьютере. Оцените величину подходящего шага интег­ рирования At в зависимости от времени Ттгх для различных схем интег­ рирования.

12.Разработайте алгоритм решения задачи о вынужденных колеба­ ниях маятника при наличии силы вязкого сопротивления и реализуйте его на персональном компьютере. Оцените величину подходящего шага ин­ тегрирования At. Усложните модель, принимая, что точка подвеса маят­ ника совершает гармонические колебания по вертикали. Исследуйте, как влияет частота и амплитуда колебаний подвеса на поведение маятника.

13.Сформулируйте концептуальную и математическую постановки для модели, описывающей свободные колебания системы, включающей два тела массой т, соединенных пружинами жесткостью с. Разработайте алгоритм численного решения данной задачи. Оцените -величину подхо­ дящего шага интегрирования At в зависимости от времени Гтах для раз­ личных схем интегрирования. Постройте траектории движения тел в фа­

зовом пространстве.

п у

14. Лодку массы т оттолкнули от берега пруда и, разогнав, отпусти ли при некоторой начальной скорости v0. Необходимо исследовать дви­ жение лодки в предположении, что сила сопротивления движению прямо пропорциональна скорости. Коэффициент сопротивления движению ц. Получите аналитическое и численное решения задачи. Оцените величину подходящего шага интегрирования At для различных схем интегрирова­ ния.