^опс/

Рис. 7.3. Изменение параметров эффективности в зависимости от системного времени

7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ

Нельзя доверять моделированию без знания теории.

Эддингтон

Автоматом называют устройство (или совокупность уст­ ройств), которое без непосредственного участия человека выпол­ няет процессы приема, преобразования и передачи энергии, мате­ риалов или информации в соот­ ветствии с заложенной в него программой. В данном случае нас

интересуют автоматы (рис. 7.4), выполняющие дискретное преоб­ разование информации, для кото­

рых заданы множества А входных сигналов, Q внутренних состо­ яний и V выходных сигналов, а также две функции: 5 —функция переходов и X -функция выходов. Первая определяет, в какое со­ стояние q’ (из множества возможных состояний Q) перейдет ав­ томат, если он находится в состоянии q и на вход поступил сиг­ нал а -> 8(q,a) = q’, а вторая показывает, какой при этом образует­ ся выходной сигнал v (из множества выходных сигналов V): X(q, а) = v. Множество сигналов и состояний дискретны, и, кро­ ме того, дискретно множество моментов, в которые поступают 382

входные сигналы, выдаются выходные сигналы и меняются состо­ яния. В этом случае число возможных значений аргументов фун­ кций переходов и выходов также конечно, и эти функции можно задавать таблично. Подобные автоматы называются конечными.

Клеточные автоматы (КА) являются частным случаем [107] конечных автоматов, используемых для моделирования динамичес­ кого поведения однородных сред. При этом пространство и вре­ мя считаются дискретными, а физические величины в каждой точ­ ке моделируемой среды могут принимать конечное множество дискретных значений. Для КА существует достаточно развитая теория. В ее основу легли работы Дж. фон Неймана, который в 1948 г. ввел в науку само понятие «клеточный автомат» при раз­ работке первой компьютерной модели биологического самовоспроизводства. Клеточный автомат можно представить, как регуляр­ ную решетку (или «таблицу») ячеек («клеток»), каждая из которых может находиться в конечном числе возможных состояний, напри­ мер 0 или 1. Состояние системы полностью определяется значе­ ниями переменных в каждой клетке. Важными особенностями клеточных автоматов являются следующие:

>состояние каждой ячейки обновляется в результате выпол­ нения последовательности дискретных постоянных шагов во времени (или тактов);

>переменные в каждой ячейке изменяются одновременно («синхронно»), исходя из значений переменных на преды­ дущем шаге;

>правило определения нового состояния ячейки зависит толь­ ко от локальных значений ячеек из некоторой окрестности данной ячейки.

Широко используются [101] автоматы для моделирования ди­ намического поведения двумерных сред. Каждой частице такой среды, занимающей некоторое пространство, ставится в соответ­ ствие элементарный автомат, имеющий форму квадрата (реже тре­ угольника или шестиугольника) и именуемый клеткой. Совокуп­ ность клеток образует клеточное пространство, в котором функ­ ционирует КА. Как отмечалось выше, отдельная клетка имеет конечный набор состояний Q, а выходные сигналы клеток есть но­ мера их состояний. Функция переходов 8 определяется текущим состоянием q клетки, а также состоянием ее окружения.

В зависимости от свойств моделируемого объекта выбирают различные типы окрестностей (рис. 7.5). В простейших случаях в

качестве окрестности принимают че­ тыре или восемь ближайших клеток. Однако возможны ситуации, когда состояние клетки зависит от состо­ яния более удаленных клеток. Чтобы исключить особый вид окрестности для клеток, лежащих в крайних ря­ дах, область замыкают, т.е. для кле­ ток крайнего левого столбца соседя­

ми слева считают клетки крайнего Рис. 7.5. Типы окрестностей правого столбца, и наоборот. Анало­

гичное замыкание выполняют для клеток верхнего и нижнего ряда области. В результате можно счи­ тать, что рассматриваемая совокупность клеток лежит на поверх­ ности тора (рис. 7.6). Подобный прием в практике моделирования называется заданием граничных условий циклического типа.

Рис. 7.6. «Сворачивание» области

Функцию переходов 5 для клетки принято называть множе­ ством правил КА. Наиболее известным примером КА считается ав­ томат «Жизнь», придуманный в 1970 г. Дж. Конвеем. Множество правил для данного автомата состоит в следующем:

>клетка может находиться в двух состояниях —пассивном и активном;

>в качестве окрестности рассматривается восемь соседних клеток;

>если в окрестности пассивной клетки две активных, то дан­ ная клетка также становится активной («рождается»);

>если в окрестности активной клетки три или более актив­ ных клеток, то она становится пассивной («умирает»).

В начальный момент времени дается некоторое распределение активных и пассивных клеток. Используя полученное распределе­ ние, определяем состояние клеток на следующем шаге по време­ ни и т.д. В зависимости от вида начального распределения при­ ходим к различным эволюциям состояний клеток. Например, слу­ чайное начальное распределение приводит к случайной эволюции последующих состояний. На рис. 7.7 показаны некоторые состоя­ ния автомата размером 256x256 ячеек, полученные для начально­ го состояния, когда активные клетки занимали квадратную об­ ласть. На втором шаге активными остаются клетки только вблизи углов квадрата. Затем они образуют четыре структуры, которые на­ чинают развиваться, образуя симметричный узор.

Пример простейшего алгоритма КА «Жизнь», записанный на псевдокоде, приведен в алгоритме 7.2.

Рис. 7.7. Клеточный автомат «жизнь» (начальная область —квадрат)

Ал г ор ит м 7.2

programm КА “Жизнь”. Клеточное пространство 256 на 256 клеток. Данные: Х тах, Утах - размер клеточного пространства;

КА[0...1,1... Xmax>1... Y J - два состояния клеток КА; к, т - номер старого и нового состояния КА; Гтах - рассматриваемое число тактов;

ran - случайное число.

ifу c Y,,^ thenD = у + 1 elseD = 1 номер нижней клетки

S = KVu+ КА*и+ KAkRU+ +KAkLyKAkRy+ KA^* KAkxD+ KA^ caseS of смена состояния клетки

2 :ifKAtay = 0thenKA= 1 elseKA =0

3..8 : if KA^ = 1 then KA,,^ = 0 else KA^ = 1 end case

Next у Next x

Вывод на экран информации о новом состоянии клеток m = (m+1) mod 2; k = (k+1) mod 2

next n

stop

* Операция div - вычисление целой части при целочисленном де­ лении. Например: 7div 3 = 2.

Автомату «Жизнь» посвящено достаточно много исследований [101]. Как правило, это первый клеточный автомат, с которым встречается исследователь, начинающий знакомство с данным классом алгоритмических моделей. Автомат прославился своими многочисленными очаровательными узорами и способностью зас­ тавлять людей тратить огромное количество машинного времени на поиски более интересных узоров.

Можно придумать достаточно много вариаций КА «Жизнь». Например, на рис. 7.8 приведены состояния КА, реализующего следующее множество правил:

а) 10-й такт

Рис. 7.8. Клеточный автомат «N из 8» (N = 1; начальная область —круг)

>клетка может находиться в двух состояниях: пассивном и активном;

>в качестве окрестности рассматриваются восемь соседних

клеток;

>клетка становится активной, если в ее окрестности находит­ ся ровно # активных клеток;

>если число активных клеток в окрестности не равно N, то

клетка становится пассивной.

Рассмотренные примеры КА довольно сложно использовать в качестве имитаторов каких-то реальных объектов. Однако оказа­ лось, что КА прекрасно подходят для моделирования поведения так называемых активных сред. Активные среды характеризуются непрерывным распределенным притоком энергии от внешнего источника и ее диссипацией [64]. Благодаря тому, что через каж­ дый физически малый элемент среды протекает поток энергии от источника к термостату, этот элемент выводится из состояния равновесия и приобретает способность совершать автоколебания, быть триггерным (бистабильным) либо возбудимым. Если такие отдельные элементы локально связаны между собой и формируют распределенную активную среду, в последней наблюдается обра­ зование различных стационарных или зависящих от времени про­ странственных структур. Эти процессы лежат в основе явлений самоорганизации, происходящих в активных средах. В качестве примеров активных сред можно назвать некоторые растворы с протекающими в них специфическими химическими реакциями, нервные волокна, горючие среды и т.д.

Выделяют три типа простейших активных элемента: биста­ бильные, возбудимые и автоколебательные.

Бистабильный (или тригерный) элемент обладает двумя устой­ чивыми состояниями, в каждом из которых он может находиться неограниченно долго. Если внешние воздействия превышают не­ которое пороговое значение, то элемент может сменить свое состояние. Одним из вариантов бистабильного элемента можно считать элементарный автомат, применяемый в КА «Жизнь» и «N из 8».

Возбудимый (или мультивибраторный) элемент имеет несколько состояний, но устойчивым к достаточно слабым воздействиям яв­ ляется только одно из них. Если воздействие превышает некото­ рый порог, то возбудимый элемент совершает ряд переходов из состояние в состояние и лишь затем возвращается к первоначаль­ ному устойчивому состоянию. Пример среды из возбудимых эле­

ментов —нервное волокно. Если раздражение превышает некото­ рый уровень, то нервная клетка переходит в возбужденное состо­ яние, создавая в свою очередь раздражение для соединенных с ней клеток и переводя их в возбужденное состояние. Затратив энергию на возбуждение соседей, клетка переходит в состояние восстанов­ ления (рефрактерности), когда она не может воспринимать новые раздражения и возбуждаться. Затем клетка возвращается в исход­ ное состояние покоя, готовая к передаче новых импульсов. Подоб­ ную модель нервных клеток предложили в 1946 г. Н.Винер и А.Розенблют [64].

Автоколебательный элемент работает подобно «вечному двига­ телю», автономно совершая циклические переходы из одного со­ стояния в другое. Внешние воздействия могут замедлить или ус­ корить эти переходы, но не могут остановить их.

Рассмотрим пример КА «Нейронная сеть», который имитиру­ ет явления в однородной двумерной нейронной сети, состоящей из возбудимых элементов. Поведение КА основано на следующей совокупности правил:

>клетка может находиться в трех состояниях: покоя, актив­ ном и состоянии восстановления;

>в качестве окрестности рассматриваются восемь соседних клеток;

>переход в состояние активности зависит от некоторого па­ раметра, называемого уровнем активатора. В возбужденном состоянии клетки уровень активатора равен 1. В других со­ стояниях он распадается на А% за такт;

>если клетка была в покое и общее количество активатора в

восьми соседних и в данной клетке превысило порог акти­ вации Га, то клетка возбуждается на Гв тактов;

> через Тв тактов клетка переходит в состояние восстановле­ ния на Гр тактов, а затем в состояние покоя.

На рис. 7.9 показаны состояния КА «Нейронная сеть» при сле­ дующих параметрах: А = 30%; Га = 3; Гв = 5; Гр = 8. Начальное распределение состояния клеток задано плоским фронтом. В ле­ вом верхнем углу действует периодический источник возбуждения (пейсмекер) с периодом 15 тактов.

Более подробно вопросы моделирования активных сред с по­ мощью клеточных автоматов рассмотрены в [64].

Еще одним интересным примером использования КА являют­ ся биологические системы. Представим сосуд с питательной сре­ дой, содержащий колонию одноклеточных (амебы, инфузории и

Рис. 7.9. Клеточный автомат «Нейронная сеть»

т.п.). Одноклеточные посредством простейших приспособлений (например, ресничек) могут перемещаться. Необходимые компо­ ненты для своей жизнедеятельности эти организмы берут из ок­ ружающей среды. Питательная среда, обедняясь в процессе дея­ тельности организмов, имеет возможность за определенный период времени полностью восстанавливать свои свойства. Например, «питательность» среды могут обеспечивать более простейшие жи­ вые существа, служащие кормом для рассмотренных выше одно­ клеточных. Каким образом будет эволюционировать описанная система «организмы —питательная среда» с течением времени?

ные значения параметров в положении равновесия. Сложность использования данной модели заключается в трудностях, связан­ ных с выбором коэффициентов модели для реальной системы.

Рассмотрим построение КА для подобной биологической си­ стемы. Примем следующую совокупность правил:

1.Клеточное пространство КА образует поле 256x256 клеток.

2.Окрестность клетки КА составляют восемь соседних клеток.

3.Каждой клетке соответствует значение р степени питательно­ сти раствора (энергоемкости), которое может изменяться от 0 до

Ртахш

4. Прирост Ар питательности (энергоемкости) раствора клетки за такт времени выполняется следующим образом:

6. Общий запас энергии КА будем характеризовать относитель­ ной величиной

дг=1 у —\

7.Клетка КА может быть свободной или содержать не более одного одноклеточного или другого живого организма.

8.Отдельная особь одноклеточного черпает энергию из пита­ тельного раствора клетки, в которой она находится, снижая его пи­ тательность и повышая свой запас энергии на ApN за такт.

9.Максимально возможное количество энергии, запасаемое од­ ноклеточным, не превышает pN.

10.На свои нужды отдельная особь затрачивает AeN энергии за

такт.

И. Особь всегда старается перейти на соседнюю свободную клетку, выбирая направление перехода случайным образом.

12.Время жизни отдельной особи составляет L тактов.

13.Если время жизни особи превысило продолжительность жизни для данных организмов или запас энергии снизился до нуля, особь умирает.

14.Начиная с возраста L3 тактов особь считается зрелой и мо­ жет производить себе подобных, затрачивая ArN энергии при каждом

делении дополнительно. При этом старая особь переходит на свобод­ ную соседнюю клетку, а новая остается в старой. Если свободных клеток в окрестности нет, то деления не происходит.

15. Начальное распределение особей по клеточному простран­ ству подчинено равномерному закону распределения. Начальное число особей составляет Щ% максимально возможного, равного Nmax = 2562 = 65536. Общее число особей в КА будем характеризовать абсолютной величиной и или относительной величиной N= rt/Nmax.

Рассмотрим КА со следующими исходными данными:

Питательный раствор: дтах = 10; гр = \. Одноклеточный организм:

На рис. 7.11 приведены: а — зависимости Р и N OT времени (номера такта); б — фазовая диаграмма и в —типичное распреде­ ление особей в клеточном пространстве. Как можно видеть зави­ симости Р и N от времени носят колебательный затухающий ха­ рактер, стремясь к состоянию равновесия (Рр = 18,7; ^ = 56,06). Колебания Р и N изменяются в противофазе, что является харак­ терным для подобных систем. Период колебаний составляет 22 такта. Фазовая диаграмма представляет собой спиральную линию, сходящуюся к равновесной точке. Распределение особей в клеточ­ ном пространстве носит равномерный характер с незначительны­ ми областями сгущения и разрежения.

Интересно посмотреть, каким образом сказывается на эволю­ ции системы изменение правил. Заменим 11-е правило следую­ щим: особь всегда старается перейти на соседнюю свободную клет­ ку с наибольшим уровнем энергоемкости. Если ячейки в окрестнос­ ти имеют меньший запас энергии, то особь остается в прежней клетке.

На рис. 7.11 также показаны: г —зависимости Р и N от вре­ мени; д —фазовая диаграмма; е —типичное распределение особей в клеточном пространстве, отвечающее такому «умному» поведе­ нию особей. Как можно видеть, уже через 100 тактов система при­ ходит к состоянию динамического равновесия (средние значения составляют Рр = 16,8; Np = 52,4 , что несколько меньше соответ­ ствующих значений для «глупого» поведения особей).

В дальнейшем параметры системы колеблются относительно средних значений с небольшой амплитудой. На рис. 7.11,г пока­ зано увеличенное изображение колебаний величины относительной

Рис. 7.11. КА «питательная среда — одноклеточные»

численности особей в состоянии динамического равновесия. Срав­ нивая рис. 7.11,в и рис. 7.11,е, можно отметить, что распределе­ ние особей по клеточному пространству при «умном» поведении более равномерное, чем в случае «глупого» поведения. Данное об­ стоятельство можно объяснить тем, что «умные» особи более жиз­ неспособны. Они стремятся перейти на клетки с большей энерги­ ей, создавая более равномерное заполнение клеточного простран­ ства и повышая устойчивость всей системы.

Рис. 7.12. КА «питательная среда —одноклеточные —хищники»

Как можно видеть, параметры для питательной среды и одно­ клеточных совпадают с рассмотренными выше. На рис. 7.12 при­ ведены результаты расчетов зависимости Р, N и X от времени (а,г), фазовые диаграммы (б,д) и типичное распределение особей в клеточном пространстве (в,е), отвечающее «глупому» (а—в) и

«умному» (г—е) поведению одноклеточных.

Прежде всего следует отметить отсутствие равномерного рас­ пределения одноклеточных по клеточному пространству. Появля­ ются подобласти четырех типов:

•свободные от одноклеточных и хищников (белого цвета);

•практически полностью занятые одноклеточными, соответ­ ствующие надвигающемуся на свободную подобласть фронту одноклеточных (темно-серый цвет);

•с малой плотностью одноклеточных, расположенные после прохождения фронта и похожие на распределение особей при отсутствии «хищников» (светло-серый цвет);

•занятые одноклеточными и «хищниками», расположенные на границе областей с малой плотностью и свободными обла­ стями (черные точки —«хищники», серые —одноклеточные).

Фронты постоянно перемещаются в направлении свободного пространства. Интересно отметить, что для «умного» поведения одноклеточных характерно наличие прямолинейных или клино­ видных фронтов. При этом острие клина направлено в сторону движения фронта. Отсутствие «хищников» перед фронтом можно объяснить наличием у одноклеточных средств защиты. Высокая плотность особей внутри фронта и, как следствие, частые встре­ чи «хищника» с множеством одноклеточных практически не остав­ ляют шансов для его выживания. Поэтому «хищники» следуют за фронтом, нападая на особей из области с малой плотностью.

Изменения коснулись также зависимостей для параметров КА. Во-первых, в значительной степени увеличился период колебаний значений параметров. Однако определение величины периода ко­ лебаний в данном случае затруднено. Рассматривая зависимости параметров КА от времени как некоторые одномерные сигналы, применим вейвлет-анализ (см. гл. 6). Исследования колебаний численности от времени проводились как с использованием вей­ влета «мексиканская шляпа», так и Марле. Результаты по диаг­ раммам энергетического спектра при использовании обоих типов вейвлетов оказались близки как в качественном, так и в количе­ ственном отношении. Поэтому далее приводятся результаты, по­ лученные с использованием только «мексиканской шляпы».

На рис. 7.13 приведены результаты вейвлет-анализа зависимо­ сти X(t) (см. рис. 7.12,г, численность хищников для «умных» од­ ноклеточных). При анализе использовались значения, начиная с 100-го такта, соответствующие более близким к равновесным со­ стояниям КА. Оценку периода колебаний можно выполнить по ди­ аграмме энергетического спектра.

Как можно видеть, график на диаграмме имеет один макси­ мум. Удвоенное значение масштаба, соответствующее максимуму, можно принять за оценку периода колебаний.

Рис. 7.13. Результаты вейвлет-анализа зависимости X(t) с рис. 7.12,г:

а— профиль сигнала; б — картина вейвлет-коэффициентов;

в—диаграмма энергетического спектра

На рис. 7.14 приведены диаграммы энергетического спектра. Как можно видеть, добавление для КА «питательная среда-одно-

Рис. 7.14. Диаграммы энергетического спектра:

а— КА «питательная среда—одноклеточные»; б и в — КА «питательная среда—одноклеточные—хищники»; ( б — «глупые»; в — «умные»)