2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Наилучшие гипотезы —это простые гипоте­ зы, которыелегко подтвердитьэкспериментально, если они верны, и легко опровергнуть с помощью надлежащим образомподобранныхрешающих экс­ периментов или наблюдений, если они неверны.

Н.Бейли

В отличие от содержательной концептуальная постановка за­ дачи моделирования, как правило, формулируется членами рабо­ чей группы без привлечения представителей заказчика, на основа­ нии разработанного на предыдущем этапе технического задания, с использованием имеющихся знаний об объекте моделирования и требований к будущей модели.

Анализ и совместное обсуждение членами рабочей группы всей имеющейся информации об объекте моделирования позволяет сформировать содержательную модель объекта, являющуюся син­ тезом когнитивных моделей, сложившихся у каждого из членов рабочей группы. На основании содержательной модели разрабаты­ вается концептуальная, или «естественно-научная» (физическая, химическая, биологическая и т.д.), постановка задачи моделирова­ ния, служащая основой для концептуальной модели объекта.

Концептуальная постановка задачи моделирования —это сфор­ мулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих за­ казчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.

Наибольшие трудности при формулировке концептуальной по­ становки приходится преодолевать в моделях, находящихся на «сты­ ке» различных дисциплин. Различия традиций, понятий и языков, используемых для описания одних и тех же объектов, являются очень серьезными препятствиями, возникающими при создании «междисциплинарных» моделей. Например, такие понятия как «прибыль» и «баланс» вызывают совершенно разные ассоциации у экономиста и математика-прикладника.

Можно сказать, что когнитивные модели, стоящие за этими по­ нятиями, у этих двух специалистов совершенно различны. Если эко­ номист, говоря о прибыли и балансе, связывает с этими понятия­ ми конкретное производство, цену и себестоимость продукции, то для математика данные понятия выглядят более формально —как

результаты решения некоторых математических уравнений. При этом практически невозможно научить математика мыслить как экономиста, а экономиста —как математика. И тот, и другой спо­ соб восприятия имеет свои достоинства и недостатки. Экономист никогда не сделает ошибок, которые может допустить математик, обращаясь с параметрами модели формально, без должных знаний в рассматриваемой предметной области. В то же время, используя формальные преобразования математических соотношений, мате­ матик может получить решения, которые очень сложно получить экономисту, пользующемуся своими подходами и методами (обыч­ но более простыми с точки зрения математики). Поэтому эффек­ тивность деятельности рабочей группы в большой степени зависит от способности ее членов поставить себя на место специалиста дру­ гого профиля, изучить его точку зрения (т.е. особенности его ког­ нитивной модели) и найти некоторый компромисс, учитывающий все ценное.

Выше отмечалось, что концептуальная модель строится как не­ которая идеализированная модель объекта, записанная в терминах конкретных (например, естественно-научных) дисциплин. Для это­ го формулируется совокупность гипотез о поведении объекта, его взаимодействии с окружающей средой, изменении внутренних па­ раметров. Как правило, эти гипотезы правдоподобны в том смыс­ ле, что для их обоснования могут быть приведены некоторые тео­ ретические доводы и использованы экспериментальные данные, ос­ нованные на собранной ранее информации об объекте. В выборе и обосновании принимаемых гипотез в значительной степени прояв­ ляется искусство, опыт и знания, накопленные членами рабочей группы. Согласно принятым гипотезам определяется множество па­ раметров, описывающих состояние объекта, а также перечень за­ конов, управляющих изменением и взаимосвязью этих параметров между собой.

Пример. Концептуальная постановка задачи о баскетболисте.

Движение баскетбольного мяча может быть описано в соответ­ ствии с законами классической механики Ньютона (рис. 2.2).

Примем следующие гипотезы:

•объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса R;

•мяч будем считать материальной точкой массой т, положение ко­

торой совпадает с центром масс мяча;

•движение происходит в поле сил тяжести с постоянным ускорени­ ем свободного падения g и описывается уравнениями классической

механики Ньютона;

•движение мяча происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли и проходящей через точку броска и центр кор­ зины;

•пренебрегаем сопротивлением воздуха и возмущениями, вызванны­ ми собственным вращением мяча вокруг центра масс.

Всоответствии с изложенными гипотезами в качестве парамет­ ров движения мяча можно использовать координаты (х и у) и ско­ рость (ее проекции vx и v^) центра масс мяча. Тогда для определения положения мяча в любой момент времени достаточно найти закон движения центра масс мяча, т.е. зависимость координат х, у и проек­ ций вектора скорости vx и vy центра мяча от времени. В качестве оценки точности броска А можно рассматривать величину расстоя­ ния по горизонтали (вдоль оси х) от центра корзины до центра мяча

вмомент, когда последний пересекает горизонтальную плоскость, проходящую через плоскость кольца корзины.

Сучетом вышеизложенного можно сформулировать концептуаль­ ную постановку задачи о баскетболисте в следующем виде: опреде­ лить закон движения материальной точки массой т под действием силы тяжести, если известны начальные координаты точки XQ и у0, ее начальная скорость v0 и угол бросания а0. Центр корзины имеет ко­ ординаты хк и ук. Вычислить точность броска A = x(tk) —xki где tk определяется из условий: tk >0,vy < 0, y(tk) = ук

Рассмотрим особенности приведенной в примере концептуаль­ ной постановки задачи о баскетболисте. Первая из перечисленных гипотез особенно важна, так как она выделяет объект моделирования.

Вданном случае объект можно считать простым. Однако в качестве объекта моделирования можно рассматривать систему «игрок —мяч — кольцо». Требуемая для описания подобной системы модель будет уже

намного сложнее, так как игрок в свою очередь представляет слож­ ную биомеханическую систему и его моделирование является далеко не тривиальной задачей. В данной ситуации выбор в качестве объек­ та моделирования только мяча обоснован, поскольку именно его дви­ жение требуется исследовать, а влияние игрока можно учесть доста­ точно просто через начальные параметры броска. Для сложных сис­ тем выбор объекта моделирования — далеко не простая и неоднозначная задача.

Гипотеза о том, что мяч можно считать материальной точкой, ши­ роко применяется для исследования движений тел в механике. В рас­ сматриваемом случае она оправдана в силу симметрии формы мяча и малости его радиуса по сравнению с характерными расстояниями перемещения мяча. Предполагается, что последний является шаром с одинаковой толщиной стенки.

Гипотезу о применимости в данном случае законов классичес­ кой механики можно обосновать огромным экспериментальным ма­ териалом, связанным с изучением движения тел вблизи поверхности Земли со скоростями много меньше скорости света. Учитывая, что высота полета мяча лежит в пределах 5—10 м, а дальность —5—20 м, предположение о постоянстве ускорения свободного падения также представляется обоснованным. Если бы моделировалось движение баллистической ракеты при дальности и высоте полета более 1 0 0 км,

то пришлось бы учитывать изменение ускорения свободного падения в зависимости от высоты и широты места.

Гипотеза о движении мяча в плоскости, перпендикулярной по­ верхности Земли, ограничивает класс рассматриваемых траекторий и значительно упрощает модель. Траектория мяча может не лежать в одной плоскости, если при броске он сильно подкручивается вокруг вертикальной оси. В этом случае скорости точек поверхности мяча относительно воздуха на различных сторонах

вать дополнительная сила, направленная (для данной схемы) сверху вниз. Этот эффект будет проявляться тем больше, чем больше скорость

центра масс мяча и скорость его вращения. Для баскетбола характер­ ны относительно низкие скорости полета мяча (до 10 м/с). При этом довольно редко используется подкрутка мяча рукой. Поэтому гипо­ теза о движении мяча в одной плоскости кажется оправданной. Ее

3Введение в математическое моделирование