вывести как уравнение малых возмущений совершенного идеаль­ ного баротропного газа (или свободных продольных или попереч­ ных колебаний струны).

6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ

Нужно сковывать себя ограничениями — и

тогда можно свободно выдумывать

У. Эко

Попутно с выводом волнового уравнения покажем, как стро­ ятся сплошносредные модели механики и физики. Эксперимен­ тально открыт факт, что физические процессы удовлетворяют за­ конам сохранения массы, количества движения, энергии и др. Для сплошного деформируемого тела закон сохранения массы в локаль­ ной форме принимает вид

где р = р(г, t) —плотность; г= /7А, —радиус-вектор произволь­ ной геометрической точки; kt , i = 1, 2 , 3 —декартов ортонормированный репер; /7 , / = 1 , 2 , 3 — координаты радиус-вектора,

V -> Л, тг---- набла-вектор (оператор Гамильтона), v= v(г, t) —век-

т о р н о А л е скоростей бесконечно м м н , материальных частиц (материальных точек). (Очевидно, каждая материальная точка имеет только три степени свободы). Поскольку рассматриваемое тело движется относительно внешней системы координат, для каж­ дой его материальной точки R имеет место закон движения r = г (R, t).

В отличие от теоретической механики в сплошном теле мате­ риальных точек оказывается настолько много, что для их иденти­ фикации необходим континуум точек внешней системы координат: r(R, 0) = R. Таким образом, R есть радиус-вектор геометрической точки, в которой находилась материальная точка в начальный момент времени. Скорость v= v (г, t) материальной точки, находя-

dr

щейся в момент времени t в месте г, определяется как >’ = — • Про-

изводя дифференцирование произвольного поля а, можно полу­ чить:

Рассмотрим, например, сплошную среду, свободно движущуюся вдоль прямой Ох со скоростью v = v (х, t). Закон движения любой (материальной) точки этой среды х = <р (/) = х0 + ut {и — ее ско­

рость) удовлетворяет второму закону Ньютона По опре­

делению, скорость материальной точки м = ^ = v(<p(f), t); диффе- ot

ренцируя по t, получаем уравнение, которому удовлетворяет поле

Заметим, что за появление нелинейности wx (здесь vx означа­ ет частную производную скорости по координате х) отвечает пе­ реход от материальных координат к пространственным (внешним) координатам. Пространственные координаты г называются эйлеро­ выми, материальные же координаты R, позволяющие следить за судьбой отдельных материальных точек, не меняющиеся для каж­ дой материальной частицы в течение всего исследуемого про­ цесса, называются лагранжевыми.

Балансовое уравнение для плотности массы (6.8) с учетом (6.9) запишется в виде:

где / —вектор массовых сил; а —тензор напряжений. В правой части (6 .11) фигурируют силы, действующие на материальную точ­ ку, занимающую положение г. Тензор напряжений отвечает за

контактное силовое воздействие на точку со стороны окружающе­ го материала, и его следует воспринимать как линейный оператор, ставящий в соответствие проходящей через материальную точку плоскости с нормалью и вектор поверхностной силы 1'. 1 = п о. Левая часть (6.11) соответствует скорости изменения количества движения материальной точки; равенство нулю этой величины в каждой точке сплошного тела описывает его статику. Применяя (6.9) к последнему уравнению, получаем

Одного рассмотрения статики или динамики сплошного де­ формируемого тела обычно оказывается недостаточно для опреде­ ления физических полей в этом теле (число неизвестных полевых функций оказывается больше числа уравнений (6.12)). Для полу­ чения дополнительных уравнений рассматривают геометрическую или кинематическую сторону вопроса, в результате чего появля­ ются дополнительные уравнения. Полученные динамические и ки­ нематические соотношения остается связать замыкающими урав­ нениями, которые являются наиболее неформализуемыми и зави­ сящими от особенностей рассматриваемой сплошной среды. Эти замыкающие уравнения называются определяющими соотношения­ ми. Можно сказать, что они являются «центральными» уравнени­ ями в любой модели.

Будем считать, что среда —идеальный совершенный газ. Пер­ вое условие («идеальность») означает a = —pi, р —гидростатиче­ ское давление; I —тензорная единица. Второе условие требует, что­ бы газ подчинялся уравнению Менделеева—Клапейрона р — RpT, где Т —абсолютная температура; R —универсальная газовая посто­ янная. Последнее уравнение и есть определяющее соотношение.

Сузим еще круг рассматриваемых процессов: будем полагать,

Такие процессы, называемые баротропными, существуют: на­ пример, для рассматриваемой среды уравнения изотермического и адиабатического процессов записываются в форме (6.13). Уравне­

ния динамики (6 .12) (при / = 0 ), кинематики (6 .10) и состояния

(6.13) в одномерном случае запишутся в виде

(три уравнения, три неизвестные функции v, р, р независимых переменных х и t). Система (6.14) содержит одно алгебраическое и два нелинейных дифференциальных уравнения. Эти дифферен­ циальные уравнения с коэффициентами, зависящими от искомых функций, однако, линейны относительно старших производных (такие уравнения называются квазилинейными). Несмотря на назва­ ние уравнения (6.14) не являются линейными и обладают богатой динамикой. Легко проверить, что тройка функций

является решением системы (6.14). Данное решение соответству­ ет состоянию покоя газа, причем значение давления (либо плот­ ности) необходимо определить из начальных условий. Получим дифференциальные уравнения эволюции малых возмущений состо­ яния покоя системы (6.14) [63]. Путь, который предлагается, - до­ статочно общий для линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений вблизи какого-либо их решения.

Определим возмущенное решение (6.15), оставляя для воз­ мущений такие же обозначения, как и у возмущенных полей,

с точностью до членов второго порядка. Функцию (6.13) разложим

в ряд вблизи р0 : p(pQ +р) = /?(ро) + р(ро)р+0(р2)- Эксперимент по­

казывает, что р(р0)>0, поэтому обозначим р(р0) = а2. Почленным

дифференцированием уравнений и удалением подобных систему можно привести к двум уравнениям вида (6.7) для функций v и г тех же независимых переменных (х, /):