- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
двух вихрей одного масштаба, расположенных друг от друга на
расстоянии р ^ 2, равном среднему расстоянию между вихрями
данного масштаба. Такая оценка дает для функций (6.76) значение порядка 0 ,1.
6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
Ошибки в исследованиях обычно проистекают из свойственной человеческому разуму склонности недооценивать или же преувеличивать значение исследуемого предмета из-за неверного определения его удаленности от нас.
Э. По
Всамых разных областях науки возникают задачи, связанные
санализом пространственных полей со сложной, многомасштаб ной структурой либо временных сигналов с меняющимся со вре менем спектральным составом. Эти задачи заставляли исследовате лей пытаться построить специальные функциональные разложения, близкие по своей идеологии описанному выше иерархическому базису. Центральной идеей всех этих подходов было использова ние базиса, каждая функция которого характеризует как опреде ленную пространственную (временную) частоту, так и место ее локализации в физическом пространстве (во времени).
Слово «вейвлет» (от англ, wavelet —маленькая волна или рябь) было введено А.Гроссманном и Ж.Морле в 1984 г. в [123], посвя щенной проблеме анализа сейсмических сигналов, в которых тре буется выделить и время (положение) всплеска в сигнале, и его спектральный состав (масштаб). Статья, где были сформулирова ны основные определения и доказаны основополагающие теоремы, вызвала огромный интерес, и уже к началу 90-х годов вейвлет-ана лиз превратился в развитую область математической физики, на шедшую широкое применение в задачах анализа временных сиг налов, распознавания образов и синтеза изображений, шифровки
идешифровки информации и многих других.
Как уже отмечалось, вейвлеты используются как при анализе временных сигналов, так и при исследовании структуры простран ственных полей. Временные ряды представляют собой одномерный сигнал, и все основные идеи проще продемонстрировать на зада чах анализа временных последовательностей. По этой причине
314
забудем на некоторое время о пространственных полях и переклю чимся на сигналы вида ДО-
Первая попытка построить функциональный базис, состоящий из функций, каждая из которых характеризует пульсации опре деленной продолжительности в конкретный момент времени, принадлежит А.Хаару (1909). Первые семь функций Хаара, пост роенные на единичном отрезке, показаны на рис. 6.14. Каждая функция представляет собой пару следующих друг за другом пря моугольных импульсов с разными знаками и одинаковой длитель ностью. Среднее значение любой функции равно нулю, а совокуп ность функций образует полный ортонормированный базис. Каж дая функция строго локализована в физическом пространстве (во времени), но характеризуется медленно спадающим спектром ча стот (как 1/v).
Следующим шагом стали функции Литлвуда—Пелли (1937). Именно это семейство функций получается при построении одно мерного иерархического базиса. Функции строятся путем выреза ния полосы Частот в пространстве Фурье. Это дает строгую лока-
лизацию в пространстве частот, но медленное затухание функции в физическом пространстве (во времени): функции описывают осцилляции, амплитуда которых падает как 1/t.
Важным этапом в развитии идеи локального анализа спект ральных (частотных) свойств стало преобразование Габора (1946), называемое также фурье-преобразованием в окнах. Функции Габо ра представляют собой гармонический сигнал, модулированный функцией Гаусса. Они хорошо локализованы и во времени, и в ча стотах, но каждая функция Габора характеризуется тремя парамет рами: положением центра окна /0, шириной окна т и частотой осцилляций v (рис. 6.15). При этом функции различного масшта ба не являются подобными (имеют различное число осцилляций).
Вейвлеты объединили в себе два важных свойства: подобие и выраженную локализованность в физическом и фурье-простран- ствах. Сформулируем требования, которым должно удовлетворять семейство функций, чтобы быть вейвлетами.
1. Допустимость. Функция у(0 , которую будем называть ана
лизирующим вейвлетом (употребляют также термин материнский вейвлет), должна иметь нулевое среднее значение:2
j\K')<*=0. (6.79)
2 . Подобие. Все функции семейства получаются из анализи рующего вейвлета путем масштабного преобразования и сдвига,
Таким образом, вейвлеты образуют двухпараметрическое се мейство функций, в котором параметр а отвечает за масштаб (ра стяжение) функции, а параметр b —за ее положение (сдвиг).
3.Обратимость. Вейвлет-преобразование должно быть обрати мо, т.е. должно существовать обратное преобразование, однозначно восстанавливающее исходную функцию по ее вейвлет-представле нию.
4.Регулярность. Функция v|/(f) должна быть хорошо локали зована и в физическом пространстве, и в пространстве Фурье.
Согласно последнему требованию, и функции Хаара, и функ ции Литлвуда —Пелли не попадают под определение вейвлетов. По сути, они являют собой два предельных случая (в одном слу чае резкие границы в физическом пространстве приводят к беско нечным «хвостам» в пространстве частот и, наоборот, обрыв в пространстве частот дает бесконечные «хвосты» в физическом про странстве).
Вотличие от преобразования Фурье, вейвлет-преобразование допускает широкий выбор анализирующей функции. Согласно первому требованию, вейвлет всегда является знакопеременной функцией, включающей обычно небольшое количество осцилля ций. Выбор конкретного вида вейвлета зависит от целей проводи мого анализа.
Приведем несколько примеров широко используемых вейвле
тов. Простым вещественным вейвлетом, применяемым в задачах, требующих хорошего пространственного разрешения и не требо вательных к спектральному разрешению, является вейвлет, полу чивший название «мексиканская шляпа» (рис. 6.16,а):
у (0 = (1 - f2)е~{2!2. |
(6.80) |
В задачах, требующих лучшего спектрального разрешения, часто используется вейвлет Морле —комплексная функция вида
Y(0 = e-'2/V 4 ' |
(6-81) |
На рис. 6.16,5 сплошной линией показана его вещественная часть, а штриховой - мнимая. Сама функция (6.81) совпадает с ви дом функций, используемых в преобразовании Габора, но семей ство вейвлетов отличается от функций Габора тем, что один раз выбрав частоту <в0 для анализирующего вейвлета и задав тем са мым число осцилляций, мы в дальнейшем сжимаем или растяги ваем функцию как целое, не нарушая подобия отдельных функций семейства.