Рис. 6.32. Построение фрактала «салфетка Серпинского»

Подобие и скейлинг

Скейлинг —это преобразования параллельного переноса и из­ менения масштаба. Такая геометрическая фигура как прямая яв­ ляется инвариантной относительно преобразований параллельно­ го переноса и изменения масштаба. Действительно, прямая, про­

ходящая через точку XQе R3 , —это множество 3 точек хе /?3 Ее

Если сдвинуть К З) параллельным переносом на (1 - г)хд, то

получим исходное множество 3.

Аналогичные преобразования можно ввести для плоскости и пространства, т.е. плоскость и пространство являются множества­ ми, инвариантными относительно скейлинга. Круг инвариантен относительно поворотов вокруг центра.

Рассмотрим ограниченное множество 3 —отрезок прямой. Он не обладает трансляционной симметрией. Но изменив длину в г< 1 раз получим новое множество 3' = г(3) —часть исходного. При определенном выборе масштаба г можно однократно покрыть ис­ ходное множество 3 непересекающимися 3,- множествами; в этом

случае можно сказать, что 3 - самоподобно с коэффициентом по­ добия г.

Для отрезка единичной длины таким масштабом является r(N) = l/N для квадрата r(N) = (l/N)^2 для параллелепипеда r(N) = (l/N ) ^ , где N —натуральное число.

Вообще для множества размерности D? имеем r(N) - (1/N ) I s ,

где Ds —размерность подобия: Ds = -In А^/1пг(Л0 •

Таким образом, для рассмотренных ранее фракталов можно вычислить размерность подобия через ко^ФФиИиент г•'

а) кривая Кох. коэффициент подобий r= 1/3, N = 4, размер-

1п 8

в) «ковер Серпинского»: г=\/Ъ, N —8, As1= ~ j ^ s=l>89.

Следует заметить, что для самоподобных фракталов, каковы­ ми являются рассмотренные ранее, фрактальная размерность и размерность подобия совпадают: Ds = D.

Множества Мандельброта и Жюлиа

До сих пор рассматривались так называемые линейные фрак­ талы: алгоритм их построения задавался линейной зависимостью. Однако фрактальные множества могут давать алгоритмы, задавае­ мые нелинейными зависимостями (например, квадратичными). Одним из известнейших нелинейных фракталов является множе­ ство Жюлиа. Рассмотрим итерационное квадратичное преобразо­

вание на комплексной плоскости: ги+1 +с>с = const. Начальная точка ZQ и значение параметра с в итерационном

процессе могут быть выбраны произвольно. Полученная последо­ вательность точек может вести себя трояко: либо начальная точка будет постепенно уходить в бесконечность, либо будет стремить­ ся к некоторой конечной точке комплексной плоскости, либо она не сможет принять определенного значения и будет блуждать по некоторой линии, т.е. существует три различных аттрактора (гео­ метрического места точек притяжения решения).

Граница раздела между конечными аттракторами и бесконеч­ ным аттрактором называется множеством Жюлиа. Вид множества Жюлиа зависит от параметра с. При с = 0 итерационный процесс имеет два аттрактора: ноль и бесконечность, границей между ними является окружность единичного радиуса с центром в начале ко­ ординат. На рис. 6.34 приведены множества Жюлиа для значений параметра с = 0,32 + 0,043/ и с = —0,11 + 0,67/. При некоторых зна-

* 4

fNl

-1 -0,5 6 0,5 1

Рис. 6.33. Фрактальное множество Жюлиа для значений параметра: с = 0,32 + 0,043/ (а); с = -0,11 + 0,67/ (б)

чениях параметра с множество Жюлиа перестает быть связным и распадается на множество отдельных мелких частей —такое мно­ жество называют пылью Фату. Вид множества Жюлиа весьма раз­ нообразен, однако в этом разнообразии существует определенный порядок: можно исследовать, при каких значениях параметра с множество будет связным, а при каких нет.

Поиски ответа на этот вопрос привели к открытию фракталь­ ного множества Мандельброта —множества значений параметра с, при которых последовательность, полученная в итерационном