использование позволяет отказаться от построения значительно бо­ лее сложной трехмерной модели движения мяча.

Гипотеза об отсутствии влияния сопротивления воздуха наиме­ нее обоснована. При движении тела в газе или жидкости сила сопро­ тивления увеличивается с ростом скорости движения. Учитывая не­ высокие скорости движения мяча, его правильную обтекаемую фор­ му и малые дальности бросков, указанная гипотеза может быть принята в качестве первого приближения.

Следует отметить, что концептуальная постановка задачи моде­ лирования в отличие от содержательной постановки использует тер­ минологию конкретной дисциплины (в рассматриваемом случае - ме­ ханики). При этом моделируемый реальный объект (мяч) заменяется его механической моделью (материальной точкой). Фактически в приведенном примере концептуальная постановка свелась к поста­ новке классической задачи механики о движении материальной точ­ ки в поле сил тяжести. Концептуальная постановка более абстрактна по отношению к содержательной, так как материальной точке мож­ но сопоставить произвольный материальный объект, брошенный под углом к горизонту: футбольный мяч, ядро, камень или артиллерийс­ кий снаряд.

2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Задача любого вида сводится к мате­ матической задаче.

Р.Декарт

Законченная концептуальная постановка позволяет сформули­ ровать математическую постановку задачи моделирования, вклю­ чающую совокупность различных математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Математическая постановка задачи моделирования —это сово­ купность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Как было отмечено в гл. 1, совокупность математических со­ отношений определяет вид оператора модели. Наиболее простым будет оператор модели в случае, если он представлен системой ал­ гебраических уравнений. Подобные модели можно назвать моде­ лями аппроксимационного типа, так как для их получения часто используют различные методы аппроксимации имеющихся экспе­ риментальных данных о поведении выходных параметров объекта

моделирования в зависимости от входных параметров и воздей­ ствий внешней среды, а также от значений внутренних парамет­ ров объекта.

Однако область применения моделей подобного типа ограни­ чена. Для создания математических моделей сложных систем и про­ цессов, применимых для широкого класса реальных задач требует­ ся, как уже отмечалось выше, привлечение большого объема зна­ ний, накопленных в рассматриваемой дисциплине (а в некоторых случаях и в смежных областях). В большинстве дисциплин (особен­ но естественно-научных) эти знания сконцентрированы в аксио­ мах, законах, теоремах, имеющих четкую математическую форму­ лировку.

Следует отметить, что во многих областях знаний (механике, физике, биологии и т.д.) принято выделять законы, справедливые для всех объектов исследования данной области знаний, и соотно­ шения, описывающие поведение отдельных объектов или их сово­ купностей. К числу первых в физике и механике относятся, напри­ мер, уравнения баланса массы, количества движения, энергии и т.д., справедливые при определенных условиях для любых материаль­ ных тел, независимо от их конкретного строения, структуры, со­ стояния, химического состава. Уравнения этого класса подтверж­ дены огромным количеством экспериментов, хорошо изучены и в силу этого применяются в соответствующих математических моде­ лях как данность. Соотношения второго класса в физике и механи­ ке называют определяющими, или физическими уравнениями, или уравнениями состояния. Они устанавливают особенности поведения материальных объектов или их совокупностей (например, жидко­ стей, газов, упругих или пластических сред и т.д.) при воздействи­ ях различных внешних факторов.

В качестве классических примеров определяющих соотношений можно привести закон Гука в теории упругости или уравнение Кла­ пейрона для идеальных газов. Очевидно, определяющие соотноше­ ния должны отражать реальное атомно-молекулярное строение ис­ следуемых материальных объектов.

Соотношения второго класса гораздо менее изучены, а в ряде случаев их приходится устанавливать самому исследователю (осо­ бенно при анализе объектов, состоящих из новых материалов). Не­ обходимо отметить, что определяющие соотношения —это основ­ ной элемент, «сердцевина» любой математической модели физикомеханических процессов. Именно ошибки в выборе или установлении определяющих соотношений приводят к количествен­

но (а в некоторых случаях и качественно) неверным результатам мо­ делирования.

Совокупность математических соотношений указанных двух классов определяет оператор модели. В большинстве случаев опе­ ратор модели включает в себя систему обыкновенных дифферен­ циальных уравнений (ОДУ), дифференциальных уравнений в час­ тных производных (ДУЧП) и/или интегродифференциальных урав­ нений (ИДУ). Для обеспечения корректности постановки задачи к системе ОДУ или ДУЧП добавляются начальные или граничные условия, которые, в свою очередь, могут быть алгебраическими или дифференциальными соотношениями различного порядка.

Можно выделить несколько наиболее распространенных типов задач для систем ОДУ или ДУЧП:

>задача Коши, или задача с начальными условиями, в которой по заданным в начальный момент времени переменным (на­ чальным условиям) определяются значения этих искомых пе­ ременных для любого момента времени;

>начально-граничная, или краевая, задача, когда условия на ис­ комую функцию выходного параметра задаются в начальный момент времени для всей пространственной области и на гра­ нице последней в каждый момент времени (на исследуемом интервале);

>задачи на собственные значения, в формулировку которых вхо­ дят неопределенные параметры, определяемые из условия ка­ чественного изменения поведения системы (например, по­

теря устойчивости состояния равновесия или стационарно­ го движения, появление периодического режима, резонанс и т.д.).

Для контроля правильности полученной системы математичес­ ких соотношений требуется проведение ряда обязательных прове­ рок [13]:

>Контроль размерностей, включающий правило, согласно ко­ торому приравниваться и складываться могут только вели­ чины одинаковой размерности. При переходе к вычислени­ ям данная проверка сочетается с контролем использования одной и той же системы единиц для значений всех парамет­ ров.

>Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнитель­ ных порядков складываемых величин и исключением малозначимых параметров. Например, если для выражения

х+ у + г= 0в результате оценки установлено, что в рассмат-

риваемой области значений параметров модели |z| << |х| и й « Ы>т0 третьим слагаемым в исходном выражении мож­ но пренебречь.

> Контроль характера зависимостей заключается в проверке того, что направление и скорость изменения выходных па­ раметров модели, вытекающие из выписанных математичес­ ких соотношений, такие, как это следует непосредственно из «физического» смысла изучаемой модели.

>Контроль экстремальных ситуаций —проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а также результа­ ты моделирования, если параметры модели или их комби­ нации приближаются к предельно допустимым для них зна­ чениям, чаще всего к нулю или бесконечности. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, матема­ тические соотношения приобретают более наглядный смысл, упрощается их проверка. Например, в задачах механики де­ формируемого твердого тела деформация материала в иссле­ дуемой области в изотермических условиях возможна лишь при приложении нагрузок, отсутствие же нагрузок должно приводить к отсутствию деформаций.

>Контроль граничных условий, включающий проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они ис­ пользованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удов­ летворяют данным условиям.

>Контроль физического смысла —проверка физического или иного, в зависимости от характера задачи, смысла исходных и промежуточных соотношений, появляющихся по мере кон­ струирования модели.

>Контроль математической замкнутости, состоящий в про­ верке того, что выписанная система математических соотно­ шений дает возможность, притом однозначно, решить по­ ставленную математическую задачу. Например, если задача свелась к отысканию п неизвестных из некоторой системы алгебраических или трансцендентных уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того факта, что число неза­ висимых Уравнений должно быть п. Если их меньше п, то надо установить недостающие уравнения, а если их больше п, то либо уравнения зависимы, либо при их составлении допущена ошибка. Однако если уравнения получаются из эксперимента или в результате наблюдений, то возможна