Для X* = О величина A,j = г, т.е. если величина коэффициента

прироста г популяции положительна, то данное положение равно­ весия является неустойчивым. Если же г < 0 (т.е. популяция выми­

рающая), то положение равновесия Х \ =0 является устойчивым.

Для Xj* = 1 величина ^ = —г, т.е. получаем обратную картину: при г > 0 данное положение равновесия устойчиво, а при г < 0 —неус­ тойчиво.

Проведенный качественный анализ уравнения (3.24) позволя­ ет не только оценить тенденции эволюции популяции при различ­ ных исходных данных, но и определить значимость различных параметров модели. Так, в данном случае проведенный анализ показал определяющую роль на судьбу популяции такого парамет­ ра, как коэффициент прироста г. Коэффициент прироста зависит от множества факторов, действующих как разово, так и в течение многих лет. Например, стихийные бедствия и эпидемии можно отнести к разовым воздействиям, а климатические условия —к действующим в течение длительного времени. Для популяций боль­ шой численности отрицательная величина коэффициента прирос­ та, связанная с разовыми воздействиями, не так страшна. Этого нельзя сказать о малых популяциях. Для них велика вероятность вымирания в результате неблагоприятных погодных условий, сти­ хийных бедствий, эпидемий и т.п.

Не менее важным обоснованием необходимости анализа устой­ чивости является то, что во многих случаях исследователя в боль­ шей степени интересует вопрос о самих точках равновесия, а не о том, каким образом исследуемая система перейдет в эти точки. Как правило, если внешние условия для системы остаются неизменны­ ми, то сама система достаточно быстро перейдет в одно из устой­ чивых состояний равновесия и будет находиться там до изменения внешних условий. Определение точек равновесия и исследование их на устойчивость для моделей, сводящихся к системе обыкновен­ ных дифференциальных уравнений, —более простая задача, чем получение аналитического или численного решения. Рассмотрим особенности численного исследования модели Ферхюльста.

Численное исследование модели Ферхюльста

Динамику популяции, описываемую моделью Ферхюльста, в за­ висимости от начальных условий и коэффициента прироста мож­ но исследовать с использованием численной процедуры. Исполь­

Подставляя значение X и деля на Ап, найдем

An+l/An= ' - ^

Из последнего соотношения можно заключить, что последователь­ ность Ап+1/Ап будет сходящейся, если 0 < гД/ < 2, причем при

О < гД/ < 1 сходимость будет монотонной, при 0 < гAt < 2 происхо­

дят колебания вблизи нуля. При гAt >2 численное решение начи­ нает колебаться около положения равновесия (рис. 3.10,6). При

гД/ = 2,5 (рис. 3.10,в) происходят устойчивые колебания с перио­ дом 4. Дальнейший рост величины rAt приводит к последователь­ ному удвоению периода колебаний при все большем сближении

значений rAt. Наконец, при гД/ = 2,57 процесс вообще перестает быть периодическим (рис. 3.10,г). Теперь X все время меняется около бесконечного числа значений, так что поведение процесса, несмотря на его полную изначальную детерминированность, прак­ тически невозможно прогнозировать на большие периоды време­ ни. Подобное поведение обычно называют хаотическим.

Более полное представление о поведении численного решения можно получить с помощью так называемой бифуркационной ди­ аграммы (рис. 3.11). На диаграмме по горизонтальной оси откла­ дывают значения rAt, а по вертикальной —численность популя­ ции X. Для каждого значения rAt определяют значения ряда Х0, Х^ Х2, ... соотношения (3.28), причем первые 4000 членов Хп на диаг­ рамме не отображаются. Это делается для того, чтобы процесс ус­ пел выйти к положению равновесия. Следующие 200 членов ряда нанесены на диаграмму. Как можно видеть на диаграмме, для ме­ тода Эйлера (рис. 3.11,а) при rAt < 2 все 200 членов ряда отобража­ ются в одну точку, что соответствует процессу сходимости, приве­ денному на рис. 3.10,а. При 2< rAt < л/б на диаграмме получаем две точки (процесс сходимости представлен на рис. 3.10,6), затем 4 (рис. 3.10,в), 8, 16 и т.д. точек вплоть до области хаоса, где точки могут заполнять целые полосы (рис. 3.10,г).

Если использовать метод Рунге-Кутта, имеющий четвертый по­ рядок точности, то получим другой вид бифуркационной диаграм­ мы (рис. 3.11,6). До значения rAt = 2,75 решение сходится к 1. За­ тем точка сходимости начинает изменяться, уменьшаясь по срав­

нению с 1, и при значениях rAt> 3,475 решение начинает осциллировать.

X

2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 r A t

б)

Рис. 3.11. Бифуркационная диаграмма для модели Ферхюльста: а — схема Эйлера; б — схема Рунге-Кутта

Рассмотренный пример показывает, что при выборе численно­ го метода для получения приближенного решения задачи следует очень внимательно относится к выбору шага интегрирования для соответствующих значений параметров модели. Для численного метода можно ввести понятие вычислительной устойчивости или неустойчивости. При этом нельзя отождествлять неустойчивость состояния самого объекта моделирования с неустойчивостью вы­