ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

—Должна же я стерпеть двух-трех гусениц, — сказала Роза, — если хочу познакомиться с бабоч­ ками. Они, должно быть, прелестны.

А. де Сент-Экзюпери

Настоящая глава посвящена иллюстрации рассмотренных выше этапов разработки математических моделей на простых примерах, часть которых известна из различных предметов школьного курса. Подобный выбор примеров обусловлен стремлением с достаточной (даже для школьников старших классов и студентов младших кур­ сов) прозрачностью показать именно «технологию» создания мате­ матических моделей и в то же время обратить внимание читателей на некоторые нюансы, присущие большинству из них. Практичес­ ки все приведенные здесь результаты могут быть получены само­ стоятельно теми, на кого ориентировано предлагаемое пособие. При этом следует отметить, что разработка математических моделей ре­ альных процессов и явлений существенно сложнее, чем в приме­ рах данной главы, и требует весьма глубоких знаний, интуиции, догадки.

Как уже отмечалось, аналитические модели позволяют получить искомое решение в виде конечной (или счетной) комбинации эле­ ментарных функций, что дает возможность более полно изучить свойства объекта моделирования, его качественное поведение, при­ меняя хорошо развитые методы исследования аналитических фун­ кций.

В тех случаях, когда по тем или иным причинам приходится ограничиваться некоторым конечным «набором» аналитических выражений (например, несколькими членами ряда, если решения

представляют собой бесконечные ряды), не являющимся точным ре­ шением задачи, модель получается приближенной, допускающей определенные погрешности в результатах. Однако и в этом случае сохраняется возможность качественного анализа ее поведения.

Следует отметить, что в настоящее время аналитические и при­ ближенные решения имеются для весьма небольшого числа задач, представляющих практический интерес. Как правило, прикладные научные и технические проблемы требуют учета такого громадно­ го числа параметров и связей, в том числе нелинейных, что полу­ чение для них аналитических или приближенных решений на со­ временном уровне развития математики не представляется возмож­ ным.

При численном подходе математические соотношения модели заменяются некоторым приближенным аналогом, что достигается дискретизацией принятых уравнений и в итоге заменой непрерыв­ ного решения конечным для ограниченного числа значений аргу­ ментов.

Благодаря развитию средств вычислительной техники числен­ ные методы решения сложных прикладных задач получили широ­ кое распространение. Задачи теплопроводности, механики жидко­ стей и газов, механики деформируемого твердого тела и многие другие были решены в основном благодаря широкому использова­ нию сеточных* методов. Вместе с тем следует иметь в виду, что неквалифицированное применение разностных схем к решению уравнений, описывающих эволюционные процессы, приводит к получению решений, далеких от истинных. Поэтому понятен ин­ терес к теории численных методов, позволяющей еще на стадии разработки алгоритма решения сложной инженерной задачи выяс­ нить условия успешной реализации вычислительной процедуры модели. Основная идея решения задач численными методами на ЭВМ заключается в сведении исходной задачи к решению системы алгебраических (линейных или нелинейных) уравнений. При этом, естественно, возникает вопрос о разрешимости этой системы. Чис­

* В более широком смысле следует говорить о проекционных мето­ дах отыскания решения операторного уравнения в заданном подпростран­ стве, основанных на проектировании искомого решения уравнения на некоторое (вообще говоря, другое, как правило, —конечномерное) под­ пространство. Проекционные методы являются основой построения различ­ ных вычислительных схем решения краевых задач. К их числу относятся такие широко известные методы, как методы Галеркина, Ритца, конеч­ ных элементов, наименьших квадратов, конечно-разностные, коллокаций и ряд других.

Содержательная постановка задачи

Арка моста состоит из двух одинаковых половинок, соединен­ ных между собой с помощью одного шарового шарнира Е, рас­ положенного на средней линии моста (рис. 3.1,6). К опорам арка крепится с помощью четырех цилиндрических шарниров А, В, С и D. Подобный способ крепления позволяет половинкам моста по­ ворачиваться друг относительно друга, компенсируя изменение своих размеров при сезонных колебаниях температуры.

Известны геометрические размеры элементов конструкции арки моста: длина моста (расстояние между опорами А и В) L = 14 м; ширина моста w = 4 м; высота арки моста h = 6 м. Обе половинки моста имеют одинаковый вес G= GY= G2= 120 кН. Центр тяжести половинок моста расположен в продольной вертикальной плоско­ сти симметрии моста. Линия действия силы тяжести G половинки арки моста пересекает плоскость X Z (рис. 3.1,6) на расстоянии а = 1,5 м от оси Z

Модель должна позволять определять усилия в узлах крепле­ ния арки моста к опорам.

Концептуальная постановка задачи

Статический анализ конструкции проведем при следующих до­ пущениях:

>объектом исследования является арка моста, состоящая из двух одинаковых половинок;

>арка крепится к опорам моста с помощью четырех цилинд­ рических шарниров, оси которых параллельны оси Z и ле­ жат в плоскости XZ;

>половинки арки моста соединены между собой шаровым шар­ ниром, расположенным в точке Е вертикальной плоскости продольной симметрии моста;

>все элементы конструкции считаются абсолютно твердыми телами, т.е. пренебрегаем их деформациями при нагружении внешними усилиями;

>пренебрегаем наличием люфта и трения в шарнирах А, В, С, D и Е.

Сучетом сформулированных допущений требуется определить величины реакции опор RA, RB, Rc, RD арки моста.

Тела, препятствующие свободному перемещению исследуемой конструкции, называются связями. В данном случае в качестве свя­ зей выступают опоры арки моста. При построении модели стати-