Одномерный иерархический базис

Ось волновых чисел у (напомним, что к = 2пу) разбиваем на

октавы yN =2N (рис. 6 .11) и вводим функции

Рис. 6.11. Разбиение на октавы оси волновых чисел

Очевидно, что f { y ) - ^ f N{y). Полученные функции f N обла­

дают замечательным свойством —они допускают периодическое продолжение на всю ось у с периодом 2y^(pHC. 6 .12):

Рис. 6.12. Периодическое продолжение функций

Это позволяет разложить функции FN {у) в ряд Фурье

где hN = \/(2yN ). Функции hNe~2ninh"y образуют полный базис в классе функций FN , а те же функции, определенные внутри зоны (6.72), —полный базис в классе функций f N

Базисные функции имеют двойную индексацию. Большой индекс отвечает за масштаб, малый —за положение функции в пространстве. Увеличение индекса N на единицу сжимает функ­ цию вдвое, увеличение индекса п на единицу сдвигает функцию вдоль оси х на величину hN.

Двумерный базис

Простейший способ получения двумерного базиса состоит в определении двумерной функции как произведения одномерных:

f NnMm У) ~ fNn Mm

Однако такие функции не являются изотропными и не удов­ летворяют требованию подобия. Последнее обстоятельство не ос­ тавляет надежд на получение простой динамической системы для коэффициентов разложения.

Исходя из локальной изотропии мелкомасштабной турбулен­ тности и стремления получить базис, образованный разномасштаб­ ными, но однотипными функциями, можно построить относитель­ но простой, но «не совсем ортогональный» базис. Для этого поле

скорости представляется в виде v(t,x,y) = '£laNn(t)vNn(г - rNn), где

Nn

aNn —зависящая от времени амплитуда; vNn — осесимметричная базисная функция, у которой большой индекс отвечает за масш­ таб, а малый —за положение в пространстве; rNn- радиус-вектор центра функции.

Используем введенное выше разбиение спектральной плоско­ сти на расширяющиеся кольцевые зоны (6 .68) и определим базис­ ную функцию так, чтобы ее фурье-образ был равен константе в пределах соответствующего кольца:

где e —единичный вектор, перпендикулярный рассматриваемой плоскости. Экспоненциальный множитель задает сдвиг центра вихря в физическом пространстве. Числовой коэффициент выбран из условия нормировки.

Чтобы получить вид функции в физическом пространстве, нужно взять обратное преобразование Фурье от (6.75). Соответ­ ствующие вычисления дают

где 5 = я2лг|г - гЛГп| ; JQ(s) —функция Бесселя.

Мы оставили без внимания вопрос о числе базисных функций и об их распределении в пространстве. Плотность функций в фи­ зическом пространстве можно оценить исходя из принципа нео­ пределенности. Если области локализации в г и Л пространствах имеют, соответственно, размеры Аг и Дк, то, требуя АгАк = 2л, получаем, что плотность функций заданного масштаба pN связана с площадью области локализации функции в пространстве Фурье

ASk как

При вычислении (6.77) учитывалось, что ASk есть площадь кольцевой области (6 .68). Формула (6.77) отражает тот факт, что число вихрей при переходе от масштаба к масштабу возрастает в 4 раза (естественно, что в трехмерном случае это отношение бу­ дет равно восьми).

Вопрос о распределении функций в пространстве более сло­ жен. Формулируя требования к базису, мы хотели воспроизвести структуру турбулентного потока, в котором мелкие вихри перено­ сятся крупными. Это означает, что радиус-вектор центра функции должен подчиняться уравнению

Подчеркнем, что суммирование в (6.78) ведется только по мас­ штабам, большим данного.

Введенный таким образом базис ортогонален по индексу N, поскольку в фурье-пространстве функции различного масштаба за­ нимают неперекрывающиеся области. Неортогональность функций по малому индексу, отвечающему за положение вихрей в простран­

стве, можно оценить путем вычисления интеграла \ vMnvMm^r Для