Окончательно наша модель приняла вид системы дифферен­ циальных уравнений в частных производных с постоянными коэф­ фициентами, т.е. чисто линейных уравнений. Это —обычное дело, если возмущается однородное и стационарное решение. Информа­ ция о возмущаемом решении содержится в коэффициенте а.

6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ

Я готов биться обзаклад, что принцип супер­ позиции будет стоять в веках.

Р.Фейнман

Приступим к решению уравнения (6.7)

удовлетворяющему граничным условиям

и начальным условиям

Эта задача соответствует динамическому поведению газа в тон­ ком канале длиной I (или колебаниям струны с закрепленными концами). Задавая функции (6.19) начального возмущения состо­ яния газа, не надо забывать, что (6.7) справедливо для малых воз­ мущений. Найдем нетривиальное классическое решение краевой задачи (6.7),(6.18),(6.19). Доказано, что это решение существует и единственно. Будем, следуя Эйлеру, искать его в виде, обычном для линейных уравнений математической физики с постоянными коэффициентами:

9Введение в математическое моделирование

где к и с могут быть комплексными. Решения типа (6.20) называ­ ют нормальными модами, или нормальными колебаниями. Характе­ ристическое (дисперсионное) уравнение принимает вид

с2 - д 2&2 = 0,

откуда

Число решений характеристического уравнения оказалось рав­ ным порядку производной по /, т.е., вместо (6.20) надо записать

v = ехр(с/)[Лехр(сх/д) + Вехр(-сх/а)\.

Применяя к последнему равенству граничные условия, нахо­ дим, что при действительном с имеется только тривиальное реше­

п =0, ±1, ±2,... С учетом решения характеристического уравнения функция (6 .20) приобретает вид

vn =[Fnsin(nnat/l) + Gncos(nnat/l)]sin(nnx/l), и= 0,1,2,... (6.22)

Эти функции суть частные решения нашей краевой задачи. В силу принципа суперпозиции функция

n= 0

также будет ее решением. Подчиним коэффициенты линейной комбинации (6.23) начальным условиям (6.19):

Но это есть разложения начальных функций ф(х) и у(х) в ряд

т а

Фурье. Коэффициенты этого ряда Gn и Нп = Fn - j - находятся как

вытекающими из (6.18), представляет собой частный случай изве­ стной в математической физике задачи Штурма-Лиувилля —зада­ чи нахождения нетривиального (т.е. ненулевого) решения обыкно­ венного дифференциального уравнения (6.26), удовлетворяющего краевым условиям (6.27). Те значения X, при которых эта задача имеет нетривиальные решения, называются собственными числа­ ми (спектром) задачи, а соответствующие им решения —собствен­ ными функциями задачи.

Как видим, задача Штурма-Лиувилля напоминает задачу на­ хождения собственных векторов t симметричного тензора второго ранга X над конечномерным пространством:

(X -X I)t =0, 0.

Формальная замена линейного симметричного оператора А-дру­ гим линейным самосопряженным оператором —координатной ча­ стью линейного дифференциального оператора с краевыми усло­ виями, и приводит к задаче Штурма-Лиувилля (напомним, что функции также являются векторами, т.е. элементами линейного пространства).

Известно, что эта задача приводит к счетному множеству соб­ ственных чисел, все они вещественные, среди них имеется наи­ меньший, а точка сгущения расположена в бесконечности, т.е.

lim Хп = +°°. Каждому собственному значению соответствует един-

П—¥оо

ственная нормированная собственная функция, а полный набор собственных функций образует ортонормированный базис про­ странства непрерывных функций на отрезке (точнее говоря, речь идет об ортонормированном базисе в гильбертовом простран­ стве, всюду плотном в С [а, Л]). Решения задачи (6.26)—(6.27) имеют вид

(6.28)

Собственные функции sin(7^г*)> л = 0,1, 2,... еще называ­

ются модами, или гармониками.

Решая второе уравнение системы (6.25) с учетом краевых ус­ ловий, получим дискретный спектр и представление:

зываемую собственной частотой этой гармоники. Из (6.24) следу­ ет, что если выбрать начальное возмущение (6.19) соответствую­ щим (6.28), то в системе будут происходить колебания газа с л-й собственной частотой.

Рассмотренная нами задача также описывает поперечные ко­ лебания линейно-упругой струны, шарнирно закрепленной по концам. Заметим, что амплитуда колебаний любой гармоники не зависит от частоты ее колебаний. Этот факт является общим для линейных волновых и колебательных моделей (и упоминался нами в начале главы в связи с открытием Гука).

Задача на нахождение собственных значений и собственных функций обобщается на граничные задачи, поставленные для трех­ мерных тел. Удивительно, что тело, некоторые свойства которого описываются линейным дифференциальным уравнением в частных производных, имеет набор собственных частот и функций («пас­ портных данных»), зависящих только от оператора, формы тела и наложенных на его границах условий. Важно, что собственные функции задачи образуют базис некоторого функционального век­ торного пространства, по которому можно разложить решение (вопрос, всегда ли - оставим открытым). Например, для решения задачи со сложным (но линейным) оператором и некоторыми гра­ ничными условиями иногда разумнее решить сначала задачу с более простым оператором и теми же условиями, а полученное разложение далее использовать для основной задачи. Отметим, что если мы решаем линейные уравнения для бесконечных областей, спектр оказывается непрерывным и суперпозиция нормальных мод в представлении начальных условий сводится к интегральной сум­ ме по к.

6.5. О ХАРАКТЕРИСТИКАХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ДАЛАМБЕРА

Долог путь поучений, короток и успе­ шен путь примеров.

Сенека Младший

Здесь нам понадобится понятие характеристик линейного диф­ ференциального оператора. Начнем с простого примера, исполь­ зующего понятия эйлеровых и лагранжевых координат (см. разд. 6.2). Пусть каждая частица %«одномерной» сплошной среды имеет некоторый локальный параметр ■&, не изменяющийся со вре­ менем:

(6.30)

Согласно формуле (6.9),

Поле скоростей v(x, /) будем считать известным, а 0 (х, t) —ра­ зыскиваемым. Дифференциальное уравнение (6.31), линейное от­ носительно старших производных с коэффициентами, зависящи­ ми только от координаты х и времени t, принадлежит к классу почти линейных уравнений в частных производных первого поряд­ ка (по терминологии [42]). Как любое дифференциальное уравне­ ние, оно имеет бесконечное множество решений (в некотором функциональном пространстве), и чтобы выделить из них опреде­ ленное, следует дополнить это уравнение начальным условием

Такая задача называется начальной задачей, или задачей Коши. Однако решать задачу (6.31)—(6.32) легче всего, принимая во внимание ее происхождение (физическое содержание). Из (6.30)

вытекает, что fl = fl(£), откуда с учетом (6.32) имеем

(6.33)

ходим к понятию характеристик как к кривым, на которых могут не иметь смысла начальные условия задачи Коши. Характеристи­

ками оказались два семейства прямых x±a/ = const, образующих координатную сетку в плоскости х, t. Эта система координат обла­ дает особыми свойствами: на каждой ее координатной кривой со­

храняется постоянной величина соответствующая у * —р. Запишем Ро

систему (6.36) в новой системе координат у = х + at, z = x —at

-^1=0, 5?е.=о.

dydz dydz

Любое из уравнений системы легко решается: (Vy)z= 0 означа­ ет, что функция vy постоянна вдоль прямых у = const на плоско­

Таким образом, имеем общее решение системы (6.7) с точно­ стью до двух произвольных функций, аргументами которых слу­