-- Глава 5

МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Нет ничего более противного разуму и приро­

де, чем случайность.

Цицерон

Развитие современных технологий во всех сферах деятельно­ сти человека и разработка соответствующих моделей приводят к необходимости учета максимально возможного количества инфор­ мации об исследуемом объекте. При этом вопросы моделирования сложных процессов и явлений чаще всего формулируются и обсуж­ даются на профессиональном языке (искусственном или подмноже­ стве естественного), отражающем специфику области исследования. Следствием этого является использование в процессе моделирова­ ния качественных элементов: описаний, понятий и отношений с неопределенными или нечеткими границами, высказываний с многозначной шкалой истинности и т.д.

В тех случаях, когда информация существенно неопределен­ ная, задание строгих границ «волевым» порядком или искусствен­ ное введение однозначности означает не что иное, как огрубление исходных данных, и может приводить к получению пусть четко­ го, но неверного результата. Исследование и учет однозначности (определенности) или неоднозначности (неопределенности) всех па­ раметров и отношений, описывающих исследуемое явление, пред­ ставляет собой необходимый и важнейший элемент математического моделирования.

Известные закономерности, описывающие процессы и явления объективного мира, можно условно разделить на две группы: од-

позначно определенные (детерминированные) и находящиеся в усло­

виях неопределенности.

К первой группе относят те закономерности, которые по за­ данным с определенной точностью характеристикам воздействий позволяют установить вполне определенный (детерминированный) отклик (реакцию) исследуемого объекта. Например, материальное тело падает с некоторой высоты. При заданной точности опреде­ ления начальных условий и действующих на тело внешних сил можно однозначно, с определенной точностью установить его ско­ рость при соприкосновении с Землей, время полета и т.д. С ма­ тематической точки зрения эти закономерности описываются на основе аксиом традиционной математикой с использованием впол­ не определенных величин.

Вторая группа закономерностей описывает случайные события

(такие, которые при заданном комплексе условий могут протекать

по-разному при одних и тех же условиях). Например, при броса­ нии игрального кубика нельзя заранее однозначно сказать, какая цифра выпадет. Если попытаться учесть природу этих закономер­ ностей как явлений, находящихся в условиях неопределенности, то надо иметь в виду, что описание этой неопределенности может быть разным в зависимости от количества и качества имеющейся информации.

Часто граница, отделяющая случайное событие от неслучайно­ го, очень размытая. Одна из концепций случайности (которая пре­ обладала до начала XX столетия) состояла в том, что если при опи­ сании исследуемого объекта предусмотреть все связанные с ним «детали», то никакой случайности не будет. Однако в настоящее время принято придерживаться другой концепции. Вернемся к примеру с падением материального тела. При полете последнего необходимо учитывать температуру окружающей среды, скорость ветра, положение относительно поверхности Земли и другие фак­ торы, которые имеют неоднозначный характер и могут, в свою очередь, влиять друг на друга. Поэтому в «чистом виде» однознач­ но определенных процессов (явлений), наверное, нет, т.е. при опи­ сании достаточно сложных процессов закономерности всегда но­ сят стохастический характер.

тивные. Субъективные причины обусловлены некоторыми частны­ ми, нерегулярно повторяющимися явлениями, поэтому их доста­ точно сложно учесть при решении прикладных задач. Объектив­ ные причины чаще всего связаны с физическими особенностями исследуемого явления.

Например, если рассматривать задачу исследования некоторого технологического процесса, то к субъективным причинам можно отнести квалификацию работников, проводящих и регламентиру­ ющих исследуемый процесс, их навыки, реакцию, время адапта­ ции и т.д. К объективным причинам появления неопределеннос­ ти для такого типа задач можно отнести:

>физико-механические свойства поставляемых материалов (в частности, предел текучести, модуль Юнга, коэффициенты теплопроводности, теплоемкости, теплоотдачи и т.д.);

>анизотропию свойств;

>поля остаточных напряжений;

>геометрические характеристики заготовок (форма и размеры);

>характер износа инструмента и т.д.

Всвою очередь каждая из указанных объективных причин по­ явления неопределенности может быть обусловлена целым рядом предпосылок. Так, неоднородность свойств материала, с одной стороны, определяется как неоднородность по объему, обусловлен­ ная особенностями технологического процесса (отливки, прокат, армированные и порошковые композиты и прочие), а с другой -■ как неоднородность партий поставляемых заготовок. При решений прикладных задач для устранения неопределенностей обычно вво­

дится предположение о принятии в качестве физико-механических характеристик некоторых предельных или средних значений (из возможных диапазонов). На наш взгляд, подобное предположение является весьма спорным в силу нелинейности исследуемых про­ цессов и сложного характера взаимодействия отдельных частей объекта между собой. Поэтому возникает необходимость учета рас­ пределения соответствующей неопределенной величины.

В зависимости от полноты описания неопределенность мож­ но разбить на три основные группы: неизвестность, недостовер­ ность и неоднозначность [82]. Рассмотрим группы описания нео­ пределенности более подробно (рис. 5.1).

Неизвестность —это начальная стадия описания неопределен­ ности, при которой информация полностью отсутствует.

Недостоверность —это вторая стадия описания неопределен­ ности, которая для различных стадий сбора информации может

Недоопределенность Недостаточность Неполнота Неадекватность

Рис. 5.1. Виды описания неопределенности

классифицироваться как неполнота, недостаточность, недоопределенность и неадекватность. Неполнота характеризуется тем, что со­ брана не вся возможная информация; недостаточность —собрана не вся необходимая информация. Недоопределенность —для неко­ торых элементов определены не их точные описания, а лишь мно­ жества, которым эти описания принадлежат [78]; неадекватность — ряд элементов исследуемого объекта описан по аналогии с уже имеющимися описаниями подобных элементов, т.е. имеет место так называемое «замещающее» описание, которое не всегда удов­ летворяет целям исследования.

Дальнейший анализ неопределенности, учет новых факторов, определяющих исследуемое явление, может привести либо к уст­ ранению неопределенности (все элементы описаны однозначно), либо к неоднозначности.

Неоднозначность —это конечная (по полноте возможного опи­ сания) степень неопределенности, когда вся возможная информа­ ция собрана, но полностью необходимое описание не получилось.

Причины возникновения неоднозначности могут быть лингви­ стические и физические (рис. 5.2).

Физическая неопределенность связана либо с наличием несколь­ ких возможностей, каждая из которых случайным образом может стать реальностью, либо с неточностью вычислений или измере­ ний. Таким образом, физическая неопределенность связана или с

физической сущностью исследуемого явления, или с его измеряемы­ ми проявлениями.

Лингвистическая неопределенность связана с использованием некоторого естественного языка. Она порождается, с одной сторо­ ны, множественностью значений слов (понятий и отношений) — полисемией (греч. ро1у8ёта —многозначность), с другой —неодноз­ начностью смысла фраз.

Можно выделить два вида полисемии: омонимию и нечет­ кость.

Рис. 5.2. Причины возникновения неоднозначности

Омонимия (греч. homonymia —одноименность) характеризуется тем, что одним и тем же словом можно характеризовать различ­ ные физические объекты. Например: коса —это вид побережья, инструмент или прическа. Если же объекты описания сходны по сути, но описывают некоторое множество понятий, то ситуацию относят к нечеткости. Например, понятие несколько шагов. Это может быть два шага, три шага, четыре шага и т.д

Рассматривая источники неоднозначности смысла фраз, мож­ но выделить синтаксическую, семантическую и прагматическую неоднозначность. При синтаксической неопределенности уточне­ ние синтаксиса позволяет понять смысл фразы. Пример: «казнить нельзя помиловать» —«казнить, нельзя помиловать» или «казнить нельзя, помиловать». Семантическая неопределенность бывает по­ верхностная и глубинная. В первом случае отдельные слова понят­ ны, но неясен смысл фразы («голубые зеленые мысли яростно спят»), во втором случае непонятны и все отдельные слова («гло-

кая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокренка»). Прагма-

тическая неопределенность связана с совместным проявлением синтаксической и семантической неопределенностей. Она чаще всего проявляется при работе с незнакомыми объектами и, воз­ можно, в незнакомой (например, языковой) среде [87].

Как уже отмечалось, на стадии концептуальной постановки за­ дачи необходим детальный анализ степени неопределенности всех характеристик системы и связей между ними. При переходе к ма­ тематической постановке задачи перед исследователем встают не­ простые вопросы: каким типом переменных описать те или иные параметры и как описать связь между этими параметрами?

Если цели исследования предполагают однозначное описание явления (процесса) или если параметры системы и связи между ними определены единственно возможным образом, то в этом слу­ чае применяется четкое описание, т.е. все характеристики счита­ ются детерминированными и связи между соответствующими чет­ кими переменными —однозначными. В противном случае в зави­ симости от целей исследования и требуемой полноты описания можно использовать различные математические подходы представ­ ления неопределенностей. Отметим, что усложнение модели (на­ пример, иерархичность) также может привести к необходимости использования других типов описания переменных, характеризу­ ющих исследуемое явление.

Математически неопределенность может быть описана стоха­ стически, статистически, с позиций теории нечетких множеств, а также интервально (рис. 5.3). Отмеченные формы описания пере­ числены по возрастанию степени неопределенности. Рассмотрим физический смысл этих неопределенностей.

Стохастическое описание используется тогда, когда неопреде­ ленные параметры имеют вероятностный (случайный) характер.

Рис. 5.3. Формы описания неопределенности

При этом необходимо, чтобы был определен закон распределения таких случайных параметров. Стохастическим описанием занима­ ется теория вероятностей и теория случайных процессов [28,49].

Статистическое описание является, по существу, частным слу­ чаем стохастического описания. Эту форму описания применяют, когда заданы только выборочные оценки каких-либо характерис­ тик случайной величины или наборы значений некоторых случай­ ных параметров. Статистическим описанием занимается математи­ ческая статистика [89].

При описании с позиций нечетких множеств неопределенный параметр задается некоторым множеством возможных его значе­ ний, характеризующихся той или иной степенью принадлежности (с помощью так называемой функции принадлежности) объекту, описываемому этим нечетким множеством [39,82]. Функция при­ надлежности может принимать значения от 1 (полная принадлеж­