ческого равновесия сами связи исключаются из модели, а их воз­ действие на исследуемый объект заменяется соответствующими усилиями, называемыми реакциями связи. Для цилиндрического шарнира без трения в качестве реакции связи принимается сила, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. Учитывая данное обстоятельство и раскладывая реакции связи шарниров по осям координат получаем, что для каждого из узлов А, В, С и D следует найти по два параметра, т.е. всего получаем восемь иско­ мых величин. Полученная система сил приведена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Система сил, приложенных к аркам моста

Математическая постановка задачи

В общем случае движение твердого тела с массой т можно раз­ ложить на поступательное движение вместе с некоторой точкой Р — полюсом (например, центром тяжести тела) и на вращательное дви­ жение относительно этого полюса:

где Jp —момент инерции тела относительно полюса; F —главный вектор приложенной к телу системы сил; М —главный момент этой системы сил.

В условиях равновесия движение тела отсутствует. Поэтому ле­ вые части соотношений (3.1) равны нулю, что позволяет сформу­ лировать условия равновесия тела:

В проекциях на три оси координат система уравнений (3.2) пре­ вращается в систему шести алгебраических уравнений:

( 3 .3 )

Му = Xc w -X Dw=0,

Mz =Yc L+YBL -G 1a-G 2(L -a) =0.

Система (3.3) состоит из уравнений, содержащих восемь неиз­ вестных величин. В разд. 2.3 отмечалось, что если число неизвес­ тных больше числа уравнений, то задача является математически не­ замкнутой и не может быть решена однозначно. В статике, как раз­ деле теоретической механики, задачи подобного типа относят к статически неопределимыми.

В данном случае конструктивные особенности моста позволя­ ют привести задачу вычисления реакций опор к статически опре­ делимой и математически корректной задаче. Половины моста свя­ заны друг с другом только в одном узле Е, являющемся шаровым шарниром. Выберем в качестве дополнительного объекта исследо­ вания, например, только левую половину арки моста. Тогда пра­ вую половину арки следует рассматривать в качестве связи, а ее воздействие на левую часть заменить соответствующей реакцией связи. Для сферического шарнира без трения реакцией связи явля­ ется сила, линия действия которой проходит через центр шарнира. Данную реакцию связи можно разложить на три компоненты —ХЕ, YE и Ze, параллельные осям координат (рис. 3.3).

Запишем систему уравнений равновесия для левой половины арки моста:

4Введение в математическое моделирование

Рис. 3.3. Система сил, приложенных к левой арке моста

Вместе системы (3.3) и (3.4) имеют 12 уравнений и 11 неизве­ стных. Учитывая, что третье уравнение системы (3.3) является тож­ деством и может быть исключено, получаем систему из 11 уравне­ ний с 11 неизвестными. Таким образом, имеем статически опреде­ лимую математически корректную задачу.

Решение задачи

Перепишем объединенную систему уравнений (3.3) и (3.4) в следующем виде:

Решение системы (3.5) можно получить непосредственно, вы­ ражая неизвестные из одних уравнений и подставляя в другие. Выполнив подобные действия, находим решение в следующем виде:

XA =XB = Xc =XD =(G/2)(a/h),

ХЕ =-Ga/h, YE =Ze =0.

Знак минус для компоненты ХЕ указывает, что направление ре­ акции на рис. 3.3 следует изменить на обратное.

Решение системы (3.5) можно получить и с использованием численных процедур. В приложении 2 рассматривается алгоритм метода Гаусса как одного из прямых методов решения систем ал­ гебраических линейных уравнений. В общем случае систему алгеб­ раических уравнений в матричном виде можно представить так:

где [А] —матрица коэффициентов; {В} —вектор-столбец правой части системы уравнений; {X} —вектор неизвестных. Необходимым условием реализации обычного метода Гаусса (без выбора главно­ го элемента) является неравенство нулю элементов на главной ди­ агонали матрицы [А] коэффициентов системы уравнений. Выпол­ нить данное условие достаточно просто, если расставить уравнения в такой последовательности, чтобы в /-м по порядку уравнении при­ сутствовало слагаемое с /-й неизвестной. Например, в первом урав­ нении присутствовал член с ХА, во втором - с 1 г ит.д. Ниже при­ веден пример матрицы [А] и правой части {В} для системы уравне­ ний (3.5). Пустые клетки соответствуют нулевым значениям коэффициентов.