ность) до 0 (полная непринадлежность). Интерпретацией функции принадлежности является субъективная мера того, насколько полно элемент (параметр) соответствует понятию, смысл которого опи­ сывается нечетким множеством. Этим описанием занимается тео­ рия нечетких множеств [39,82].

Интервальное описание можно использовать, когда неопреде­ ленные параметры заданы только диапазонами возможных значе­ ний (верхней и нижней границами), причем параметр может при­ нимать любое значение внутри интервала и ему нельзя приписать никакой вероятностной меры. Интервальное описание является предметом исследования интервальной математики [4].

Следует отметить, что зависимость математического подхода к описанию переменных от полноты имеющейся информации весь­ ма условна. Так, при численной реализации тех или иных алгорит­ мов моделей на ЭВМ даже для детерминированных переменных (неявным образом) используется аппарат интервальных вычисле­ ний, так как расчеты на ЭВМ ведутся с интервальными величи­ нами. Поэтому считать, что интервальное описание переменных «менее определенное», чем стохастическое, наверное, нельзя. Од­ нако с этим утверждением можно согласиться, если интервальное описание вводится уже на стадии концептуальной и математичес­ кой постановок задач.

Многообразие форм описания неопределенностей приводит к различным особенностям постановки и решения соответствующих задач.

5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

...Вряд ли можно считать, что мозг в срав­ нении с современными вычислительными машина­ ми не имеет определенных преимуществ...

Главное из этих преимуществ, —по-видимо- му, способность мозга оперировать с нечетко очерченными понятиями.

Н.Винер

При решении сложных технических, экономических, техноло­ гических, социальных и других задач мы сталкиваемся с тем, что чем сложнее система, тем менее мы способны дать точные и в то

же время имеющие практическое значение суждения о ее поведе­ нии. Такая ситуация в [130] определяется термином «принцип не­ совместимости». Следствие из этого принципа кратко можно вы­ разить так: «Чем глубже мы анализируем реальную задачу, тем нео­ пределеннее становится ее решение». Именно в этом смысле точный количественный анализ поведения сложных систем для практического исследования реальных задач, по-видимому, недо­ статочен. В [24,39,56,73,82,130] предлагается подход, который опи­ рается на предпосылку о том, что элементами исследования явля­ ются не числа, а некоторые нечеткие множества, для которых пе­ реход от «принадлежности к классу» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен. В основе такого подхода лежит не традиционная двузначная или даже многозначная логика, а логи­ ка с нечеткой истинностью, нечеткими связями и нечеткими пра­ вилами вывода. Этот подход имеет три отличительные черты:

1)в нем используются так называемые «лингвистические» пе­ ременные вместо числовых переменных или в дополнение к ним;

2)простые отношения между переменными описываются с по­ мощью нечетких высказываний;

3)сложные отношения описываются нечеткими алгоритмами. Отметим, что с математической точки зрения предложенный

подход как метод описания неопределенности лежит между опи­ саниями с позиций теории вероятностей и математической стати­ стики (в этом случае параметры системы, имеющие вероятност­ ный, случайный характер, определяются некоторыми распределе­ ниями) и с позиций интервальной математики, при котором характеристики задаются диапазонами возможных значений (вер­ хними и нижними границами).

Подобный тип задач чаще всего имеет место в том случае, когда концептуальная постановка задачи сформулирована в виде некоторого неопределенного высказывания типа «Если А, то В» (А => В ), в котором А и В можно описать нечеткими множест­ вами.

Прежде чем перейти к подробному обсуждению предлагаемо­ го подхода, приведем некоторые основные положения.

Нечеткое множество —это математическая модель класса с не­ четкими или, иначе говоря, размытыми границами.

В этом понятии учитывается возможность постепенного пере­ хода от принадлежности к непринадлежности элемента множеству. Иными словами, элемент может иметь степень принадлежности множеству между полной принадлежностью (1) и полной непри-

надлежностыо (0). Если степень принадлежности обозначить ц, то

Це[0,1].

Введем некоторые основные понятия и определения [24,39,56,73,82,130]. С математической точки зрения нечеткое мно­ жество А можно определить следующим образом:

нечетким множеством А в Uназывается совокупность пар вида

(и, \LA (и)), где ие U , a \iA(u) —функция принадлежности элемен­

тов нечеткого множества A, fiA : V -»[0,1]; U —некоторое множе­

ство (в обычном смысле) элементов, которое называется универ­ сальным множеством. (Понятие множества считается первичным и не определяется. По существу, множество —это совокупность элементов любого вида). Для каждого элемента ueU функция принадлежности определяет степень его принадлежности той со­ вокупности элементов, которая формализуется данным нечетким множеством. Математически нечеткое множество определяется следующим образом:

А= U \iA(u)/u.*

u e U

Например, пусть универсальное множество и совокупность функций принадлежности описываются выражениями: U= {а, Ь, с, d, e,f) и М = (0; 0,5; 1). В этом случае М —совокупность возмож­ ных значений функции принадлежности. При этом одна из воз­ можных форм записи нечеткого множества А может быть пред­ ставлена в следующем виде:

А = (0,0/а; 1,0/6; 0,5/с; 0,0/4 0,5/е; 0,0//).

Рассмотрим более подробно, что понимается под функцией принадлежности. Спектр мнений по этому вопросу чрезвычайно широк. Если под функцией принадлежности понимать «меру благоприятствия» соответствующих элементов тому понятию, которое формализуется данным нечетким множеством, то в этом случае функция принадлежности отождествляется с понятием вероятно­ сти (определение понятия вероятности дано ниже).

* Знак «/» в данном случае используется для отделения значения функции принадлежности от соответствующего элемента —носителя не­ четкого множества.

В[130] предполагается, что функция принадлежности —это некоторое невероятностное субъективное измерение неточности, что она отлична от плотности вероятности и от функции распределе­ ния вероятности. Иногда под функцией принадлежности понима­ ют возможность или полезность того или иного события.

Вданной работе, так же как в [39], под значением функции

принадлежности р ^х ) нечеткого множества А для любого хе X будем понимать вероятность того, что лицо, принимающее решение (ЛПР), отнесет элемент х к множеству А. В случае, когда А —не­ которое понятие естественного языка, а х — элемент множества объектов, обозначаемых понятием А, ^ ( х ) есть вероятность того, что ЛПР использует А в качестве имени объекта х. Необходимо от­ метить, что:

>приведенная интерпретация, которую будем называть веро­ ятностной, не исключает других (в том числе невероятност­ ных);

>элемент х, как следует из определения, уже предъявлен ЛПР, а ЛПР и решает задачу отнесения элемента к нечет­ кому множеству А.

Вкачестве конкретного примера применения аппарата теории нечетких множеств для математического моделирования некоторо­ го явления рассмотрим следующую задачу.

Пример 5.1. Пусть справедливым считается следующее высказыва­ ние: «Если дорога скользкая —езда опасная, в противном случае —не опас­ ная». Необходимо определить, в каком случае езда будет более опасной: если дорога не очень скользкая или дорога очень не скользкая?

Отметим, что в качестве примера выбрано простейшее утвер­ ждение, которое легко формализуется, ответ на него почти очеви­ ден. В реальных задачах операций может быть десятки и сотни и ответы на поставленные вопросы не так тривиальны.

Для математической постановки представленной задачи необ­ ходимо ввести ряд определений и некоторые простейшие операции с нечеткими множествами, что и делается ниже.

Носителем нечеткого множества А (SuppA или £(/!)) называется множество (в обычном смысле), определяемое как

SuppА = [и/и B U,\LA (U)> 0}.

Нечеткое отношение R: X -> У представляет бинарное отно­ шение нечетких множеств X и У; R следующим образом описыва­ ется с помощью функции принадлежности двух переменных:

При выполнении обычного произведения матриц элемент мат­ рицы-произведения, стоящий в /-й строке и к-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов /-й строки первой матрицы и к-то столбца второй матрицы. По существу, максиминное произведение определяется как обычное произведение матриц [35], где вместо операции умножения вводится min, а вместо опе­ рации сложения —max.

Пусть, например,

Нечеткой (лингвистической) переменной называется совокуп­

ность (кортеж) вида (X,U,X), где X —наименование нечеткой пе­ ременной; U= {и} —область ее определения (обычное множество);

Х = U Цу(и)/и —нечеткое множество на U, описывающее число-

u e U

вые значения нечеткой переменной X.

Если обратить внимание на структуру наименования лингви­ стической переменной, то можно отметить, что в общем случае это составной термин, представляющий сочетание некоторых элемен­ тарных терминов. Эти элементарные термины можно разбить на четыре основных категории:

>первичные —символы специальных нечетких подмножеств, например молодой, старый и т.д.;

>отрицание НЕ и союзы И, ИЛИ;

>неопределенности типа: очень, слабо, более или менее и т.д.;

>маркеры чаще всего это вводные слова.

7Введение в математическое моделирование

Пример. Пусть нечеткое множество описывается составным терми­ ном: «по мнению окружающих, это был не очень сильный и совсем не высо­ кий человек». Выделим основные категории:

>первичные термины —сильный, высокий (человек);

>отрицание НЕ и союзы И;

>неопределенности —очень, совсем;

>маркеры —по мнению окружающих.

Отрицание НЕ, союзы И, ИЛИ, неопределенности типа очень, весьма, больше, меньше и др., которые входят в определение зна­ чений лингвистических переменных, могут рассматриваться как символы различных операций, определенных на нечетких подмно­ жествах U. Рассмотрим наиболее существенные из них.

Пусть А и В —нечеткие множества; S(A), S(B) - их носители. Обычно вводятся два набора определений основных операций над нечеткими множествами: максиминный (тт) и вероятностный (р) [79, И 1]. Объединением нечетких множеств А и В в U называется

нечеткое множество A KJВ с функцией принадлежности вида:

Дополнением нечеткого множества А называется нечеткое мно­ жество А с функцией принадлежности:

Цд(и) = 1-ЦА(к), и€ U, - (тт,р).

Определение дополнения соответствует отрицанию НЕ, т.е.

X = (не X) = и (1 - |ijf (х))/х.

Пример. Пусть/4= (0,2/1; 0,5/2; 1,0/3). Тогда Л = (0,8/1; 0,5/2; 0,0/3).

Декартово произведение А1 х х...хАп нечетких множеств At в Uf, i = \,n , определяется как нечеткое множество А в декартовом

произведении 17 = I7j х|72х...х17л с функцией принадлежности вида:

цд(и) = т т |р Л1(м1),...,рДп(мп)|, u = (ul,...,un)eU .

Обычным множеством a -уровня нечеткого множества А назы­ вается

*Уа ={ы:ие(7,рд(и)>а})

где а е [0, 1].

Для определения арифметических операций ®= {+, -, •, /} в

[24] приведен так называемый принцип обобщения Л.А.Заде. Пусть А и В —два нечетких множества. Тогда нечеткое мно­

жество D = А®В определяется функцией принадлежности

М « )=0[Мы),Мы)],

Теперь арифметические операции ®={+, •, /} можно опреде­

лить следующим образом: A® B=(JviD(u)/(a®Ь) , если операция

и

(а®Ь) определена.

Например, если и = маленький возраст = (1,0/1; 0,8/2; 0,6/3; 0,4/4; 0,2/5), тогда очень маленький возраст = (1,0/1; 0,64/2; 0,36/3; 0,16/4; 0,04/5). Рассматриваемый как оператор, очень может дей­ ствовать сам на себя. Так, например, очень очень и = (очень и)2 = = и4.

Заметим, что порядок следования элементарных терминов в составном термине существенно влияет на результат. Так, напри­ мер:

и= очень не точно = ( точно )2 и и = не очень точно= (точно)

—не одно и то же. С другой стороны, не очень точно может быть записано по-разному, хотя результат будет один и тот же:

и = не очень точно = очень точно = (точно)2'

Вернемся к нашему примеру о скользкой дороге. Высказывание «если А, то В, иначе С» (где А, В , С —нечеткие

подмножества, при этом А обязательно из U, а В и С могут быть определены как на U, так и на Кв зависимости от формулировки задачи; напомним, что V и V —универсальные множества, на ко­ торых определены нечеткие множества А, В , С) в терминах декар­ това произведения можно определить следующим образом:

def

если А, тогда В , иначе С = A x B \J A x C

По существу, мы получили некоторое неопределенное отноше­

ние R (R: U => V ). Далее (по условию задачи) мы хотим опреде­ лить значения некоторых подмножеств из V, которые определяются заданными подмножествами из U. Для решения этой и подобного типа задач в [130] сформулировано составное правило вывода, ко­ торое имеет следующий вид.

Если R —неопределенное отношение U => V и х —неопреде­ ленное подмножество V, тогда неопределенное подмножество у в V , которое индуцируется подмножеством х, дается композици­ ей х и R, т.е. y = x°R, где «•>» —максиминное произведение.

В рассматриваемом примере 1 необходимо определить Xj — «дорога не очень скользкая», х2 —«дорога очень не скользкая», и, решив соответствующие задачи вывода, получим подмножества yj

и У2-

Для сравнения полученных нечетких множеств строится неко­ торая четкая функция Н ( у у2) от нечетких аргументов, которая

Х2 = очень не скользкая дорога =

Окончательно получим:

Y1 = X 1 o R =

Сравним полученные результаты для Yx и У2 между собой, для чего

tf^(F1,y2) = sup(min(0,9I; 0,81,), min(0,7n; 0,81,; 0,7„), min(0,5,„; 0,81,; 0,7„; 0,5,„), min(0,6^; 0,81,; 0,7„; 0,5,„; 0,36jy), min(0,6y; 0,81,; 0,7,,;

0,5JJJ; 0,36IV; 0,36y) =sup (0,81; 0,7; 0,5; 0,36; 0,36) = 0,81;

^ ( y 2,F i)-su p (m in (0 ,8 1 i; 0,9j), ш т(0,7ц ; 0,9j; 0,7JJ), min(0,5jjj; 0,9j;

0,7„; 0,5jj|), min(0,36jy; 0,9j; 0,7JJ; 0>5щ; 0,6jy), min(0,36y; 0,9j; 0,7ц;

0,5щ; 0,6jy; 0,6y) = sup (0,81; 0,7; 0,5; 0,36; 0,36) ^ 0,81.

Использование детерминированного индекса ранжирования не по­ зволило сделать вывод о том, какая дорога более опасная. Уточним ре­ шения, используя для сравнения интегральный индекс ранжирования. При этом для оценки степеней опасности введем следующие числовые значения: I — 1, II — 2, III — 3, IV — 4, V — 5 (это необходимо сделать, чтобы как-то численно оценивать элементы носителя. Можно было бы пойти по другому пути — «опасность» езды оценивать по степени ущер­ ба для здоровья человека, например, I — 5%, II — 10% и т.д.).

В Д ) = 1^ -0,6 + . 0 , 2 +!± ! ■0,2 =2,3.

Таким образом, не очень скользкая дорога более опасна, чем очень не скользкая дорога. Отметим, что интегральный индекс ранжирования дает более точный результат по сравнению с детерминированным индексом, так как учитывает весь спектр распределений нечетких множеств. При­ веденный пример является достаточно простым, имеет тривиальный от­ вет и служит только иллюстрацией применения теории нечетких мно­ жеств. Примеры использования этой теории для разработки математичес­ ких моделей сложных процессов и явлений читатель может найти в работах [56, 78].

Как уже отмечалось, подход с позиций теории нечетких мно­ жеств к математическому моделированию явлений или процессов наиболее предпочтителен в тех областях знаний, в которых труд­ но или даже невозможно получить точные количественные оцен­ ки. К таким разделам можно отнести экологию, метеорологию, пе­ дагогику, психологию, социологию и т.п.

Рассмотрим еще один пример решения задачи с позиций тео­ рии нечетких множеств в метеорологии.

Применение детерминированного индекса ранжирования не позво­ лило сделать вывод о том, в каком случае будет «более солнечно». Уточ­ ним решение, используя для сравнения интегральный индекс ранжиро­ вания. При этом можно положить, что I — соответствует не более 5% дневного времени, когда солнце не затянуто тучами, II - 15%, III - 40%,

ГУ — 80%, V — 100% (это необходимо сделать, чтобы численно оценивать

элементы носителя): ЯДУ})=33,3; # +(У2) = 24,6.

Таким образом, если давление не очень высокое, то на следующий день будет «более солнечно», чем в том случае, когда давление — очень не высокое.

Пример 5.3. Для задачи о баскетболисте, постановка которой рас­ смотрена в гл. 2, подход с позиций теории нечетких множеств может помочь в обосновании используемых приемов бросания мяча, уточнении методики подготовки баскетболиста и т. д. Рассмотрим одну из возмож­ ных задач — вопрос об оценке точности попадания мяча в кольцо при броске со штрафной линии.

Пусть известно, что если начальная скорость v0 мяча будет средняя, то точность попадания будет высокой, в противном случае — не высокой. Оценим, в каком случае точность попадания будет выше: когда началь­ ная скорость больше средней или когда начальная скорость меньше сред­ ней.

Для решения этой задачи необходимо ввести неопределенности типа больше (средней) и меньше (средней).

Функцию принадлежности неопределенности больше (средней) опре­ делим следующим образом:

где и* — элемент носителя нечеткого множества с максимальной степе­ нью принадлежности. Введением такого вида функции принадлежности мы увеличиваем возможность выбора больших значений носителя. Теперь функцию принадлежности неопределенности меньше (средней) можно найти так:

Такой вид функции принадлежности увеличивает возможность вы­ бора меньших значений носителя.

Введем нечеткие множества средняя скорость и высокая точность.

Пусть

А = средняя скорость = (0,1/5,5; 0,4/6; 0,8/6,5; 0,6/7; 0,3/7,5) (элементы носителя числового нечеткого множества А измеряются в м/с);

В = высокая точность = (0,2/20; 0,3/40; 0,5/60; 0,7/80; 1/100) (элементы носителя числового нечеткого множества В измеряются в %).

Теперь можно определить все необходимые для решения задачи не­ четкие множества:

А = (0,9/5,5; 0,6/6; 0,2/6,5; 0,4/7; 0,7/7,5);

В = (0,8/20; 0,7/40; 0,5/60; 0,3/80; 0/100);

Хх = скорость больше средней = (0,2/5,5; 0,2/6; 0,2/6,5; 0,4/7; 0,7/7,5);

Окончательно получаем:

Гх=ЛГ, о R = (0,7/20; 0,7/40; 0,5/60; 0,4/80; 0,4/100);

Y2= X 2 oR = (0,8/20; 0,7/40; 0,5/60; 0,4/80; 0,4/100).

Использование детерминированного индекса ранжирования не по­ зволило сделать однозначный вывод. Уточним решения, применив для сравнения интегральный индекс ранжирования:

H+(YX) = 36; Я +(У2) = 38.