таваясь неизменной (а это еще одно замечательное свойство это­ го уравнения), приводит к увеличению амплитуды волн. Процесс происходит до некоторой предельной амплитуды и сопровождается заострением волн (нелинейность здесь проявляет себя именно в этом). Волны предельной амплитуды, переходя на мелководье, начинают опрокидываться, поскольку при h - » 0 К { х ) -> 0 , и не­ линейность полностью «побеждает» диссипацию.

Необходимо сказать, что здесь нами было предпринято каче­ ственное моделирование явления. Мы не выводили уравнения движения волн на поверхности жидкости, а изначально изучали свойства некоторых модельных уравнений, из которых скомбини­ ровано уравнение Уизема. Такой путь, требующий большой физи­ ческой интуиции, является весьма ценным, но не заменяет собой прямого («честного») пути построения модели: постановки пробле­ мы, принятия гипотез, вывода уравнений и их исследования. Спе­ циалист в области математического моделирования должен овла­ девать обоими подходами.

6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ

Когда я предстану перед Творцом, то первое, о чем я спрошу его, будет:

«В чем же загадка турбулентности?»

Т. фон Карман

Сложные нелинейные системы часто имеют иерархическую структуру, состоящую в том, что элементы этой системы образу­ ют иерархию уровней, а взаимодействия между ними становятся существенными только в том случае, если элементы близки друг другу и «по вертикали», и «по горизонтали». Яркий пример такой системы —развитая турбулентность, характерной особенностью ко­ торой является многомасштабность. В турбулентном потоке сосу­ ществуют вихри самых различных размеров —от размеров поряд­ ка характерного масштаба потока (диаметра трубы, размера обте­ каемого тела, размера сосуда и т.д.), называемого интегральным, или макромасштабом турбулентности, до наименьшего, диссипа­ тивного, или микромасштаба, на котором становятся существен­ ными вязкие силы, переводящие подводимую к потоку механичес­

кую энергию в тепловую. Тот факт, что макромасштабы, на кото­ рых подводится энергия, и микромасштабы, на которых энергия диссипирует, могут отличаться в тысячи (или даже миллионы) раз и определяет необходимость формирования каскада энергии от больших вихрей к меньшим.

В этом разделе будут рассмотрены модели турбулентности, основанные на идее применения функционального базиса специ­ ального типа, наиболее точно соответствующего структуре турбу­ лентных полей. Идея такого базиса впервые была предложена В. Зиминым в конце 70-х годов и состояла в использовании семей­ ства самоподобных функций прогрессивно убывающего масшта­ ба [44]. Базис был назван иерархическим, на его основе построе­ ны и исследованы многочисленные модели, также названные иерархическими [45]. В конце 80-х годов в научной литературе по­ явилось слово «вейвлет», а к началу 90-х вейвлет-анализ превра­ тился в самостоятельную, хорошо развитую область математичес­ кой физики. Идеи, лежащие в основе теории вейвлетов, совпада­ ют с идеями иерархического представления турбулентных полей, и в терминах этой молодой науки иерархические модели —это мо­ дели, построенные с помощью вейвлет-представления описывае­ мых полей.

Поскольку цель этой главы состоит в изложении подходов к моделированию сложных нелинейных процессов, то начнем с идей, приведших к иерархическим моделям. В то же время нельзя не остановиться и На формулировке основных положений вейвлетанализа, который оказывается чрезвычайно полезным при анали­ зе временной и пространственной структур нелинейных систем.

Иерархический базис для турбулентных полей

Рассматривая численные методы решения уравнений движения жидкости, можно отметить, что чаще всего применяются либо се­ точные, либо спектральные методы, либо их комбинация. И те, и другие можно отнести к проекционным методам решения уравне­ ний в частных производных, когда для решения используют про­ екции всех полей на функциональные базисы.

В сеточных методах функции представлены значениями в точ­ ках, плотность которых связана со спектральными свойствами рас­ сматриваемых полей (мелкомасштабные вихри не должны «прова­ ливаться» между точками сетки). Более строго эта связь выража­ ется теоремой Котельникова, согласно которой функция /(х),

спектр которой ограничен пространственной частотой 2%/h, может быть представлена суммой функций отсчетов (синусов), центры которых размещены на сетке с шагом Л. Очевидно, что сеточное представление эффективно при описании локальных структур — мелкомасштабный вихрь описывается небольшим числом точек, находящихся в соответствующей области пространства. В то же время для описания даже очень простого по структуре крупномас­ штабного вихря требуется использование всех базисных функций.

Спектральные методы используют разложение по фурье-гармо- никам. В этом случае каждая базисная функция описывает, по сути, систему когерентных вихрей, занимающую все пространство. В таком представлении очень просто описать вихрь, занимающий всю область, или периодическую систему вихрей —и в том, и в другом случае достаточно одной базисной функции. Однако если требуется описать отдельный вихрь, занимающий малую часть рас­ сматриваемой области, то потребуется весь гармонический ряд.

Сеточные методы эффективны при вычислении нелинейных членов, так как позволяют выразить значение в точке через не­ большое число соседних точек, но приводят к большим затратам машинного времени при решении уравнения Пуассона, требующе­ го построения итерационного процесса, в который вовлечены все точки области. Спектральные методы, наоборот, делают решение уравнения Пуассона тривиальным, но приводят к очень сложной структуре нелинейных членов.

Проблемы двух функциональных базисов связаны с их локализованностью в физическом и в фурье-пространствах. Сетки стро­ го локализованы в физическом пространстве, но спектр точки (дельта-функции) представляет собой белый шум. Это означает, что функции делокализованы в пространстве Фурье. Обратная ситуация возникает при разложении в ряды Фурье. Каждая гармо­ ника представляет строго одну частоту, но соответствующая ей функция занимает все физическое пространство.

В турбулентном потоке сосуществуют вихри самого различного масштаба, но наиболее эффективные взаимодействия происходят между вихрями (структурами), близкими и в физическом, и в фурье-пространстве. Первое очевидно: чтобы вихри взаимодей­ ствовали, они должны перекрываться в пространстве. Второе ут­ верждение составляет основу концепции каскадных процессов — взаимодействуют вихри сравнимых размеров (если размеры несо­ поставимы, то маленькие вихри просто переносятся большими без обмена энергией). Это заставляет обратиться к поиску специаль­

где каждая функция vN есть результат фильтрации в фурье-плос- кости по соответствующему кольцу (6 .68):

\ vNvM^r ~ ®NM и>следовательно, энергия распадается на сумму

N N L

Таким образом, проведена первая часть построения —исход­ ное поле разбито по масштабам. На втором этапе нужно провести разбиение полученных полей vN на сумму функций, каждая из ко­ торых характеризует поле скорости данного масштаба только в оп­ ределенной области пространства:

где /д(г) —базисные функции масштаба N\ rNn —радиус-вектор центра вихря (функции). Функции f^ r ) должны быть подобны, взаимно ортогональны и обеспечивать разряженную матрицу не­ линейных взаимодействий XNnMmLl в уравнении