(вводимым через интеграл). С точки зрения функционального ана­ лиза эти пространства есть эквивалентные представления гильбер­ това пространства.

Одна из самых замечательных идей Давида Гильберта заклю­ чается в том, чтобы рассматривать пространства функций как ев­ клидовы. Шредингер первым увидел в квантованное™ состояний аналогию с проблемой собственных значений линейного диффе­ ренциального оператора. Однако рассказывают, что еще до откры­ тия Шредингером своего уравнения к Гильберту в Гетганген при­ езжали физики и задавали ему вопрос о смысле матриц в теории Гейзенберга, на который Гильберт ответил, что обычно такие таб­ лицы появляются при решении некоторых дифференциальных уравнений. Физики решили, что Гильберт просто не понял воп­ роса, а через год Шредингер открыл свое знаменитое уравнение.

6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Если наши соображения правдоподобны, не следует стремиться к большему.

Цицерон

Любой современный компьютер способен справиться с весь­ ма сложными моделями. Иногда молодые ученые воспринимают это обстоятельство как приглашение создавать сложные и глубо­ кие модели в любом случае, даже когда на то нет никакой необ­ ходимости. Между тем многие из задач могут быть решены без привлечения глубоких знаний о структуре изучаемого объекта, процессах, протекающих на микроскопическом уровне, физичес­ ких механизмах, управляющих поведением системы, т.е. решены

феноменологически.

Феноменологические модели связывают только непосредствен­ но наблюдаемые и измеряемые в макроскопических опытах вели­ чины, никакие модельные представления о структуре материи при этом не используются (по крайней мере, в явном виде). Неоцени­ мое преимущество этих моделей заключается поэтому в их общноста, независимости от деталей, частностей, недостаток же явля­ ется продолжением достоинств —физический механизм при реше­ нии задач остается нераскрытым. Таким моделям бессмысленно задавать вопросы «почему»? Приведем только два известных всем

примера феноменологических моделей —закон всемирного тяго­ тения и равновесную термодинамику, которые наш читатель смо­ жет оценить по-новому, увидев, как здесь работают особенности данного подхода.

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что любые два тела притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними. С помощью этого закона и трех законов динамики Ньютону удалось очень хорошо описать движения пла­ нет вокруг Солнца. Закон всемирного тяготения предполагает дей­ ствие на расстоянии, что довольно необычно. Однако Ньютон мудро воздерживался от каких-либо высказываний относительно физической природы сил тяготения (о которой до сих пор нет единого мнения), поэтому то, что он просто ограничился форму­ лировкой количественных соотношений измеримых в макроопы­ тах величин без всяких фантастических измышлений, определен­ но поспособствовало прогрессу в физике и технике.

Классическая равновесная термодинамика [91] базируется на трех законах, называемых «началами», также основанных на ре­ зультатах макроэкспериментов. Далее мы изложим и обоснуем на примере идеальных газов эти начала и в качестве демонстрации их возможностей докажем невозможность построения вечного двига­ теля.

В классической равновесной термодинамике изучают равновес­ ные процессы, т.е. непрерывные изменения равновесных состояний. Равновесность состояния изучаемого объема газа означает однород­ ность распределения по этому объему параметров состояния газа, т.е. отсутствие их градиентов и потоков. Для его реализации воз­ действие на среду должно прилагаться достаточно медленно по сравнению со скоростью установления в ней равновесия, т.е. квазистатически.

Рассмотрим газ, который при некоторой температуре Т имеет давление Р и занимает объем V. Мы, конечно, умеем измерять температуру, объем и давление нашего газа с помощью известных приборов. Из этих трех параметров независимы только два, т.е. состояние газа характеризуется любыми двумя такими параметра­ ми.

Термостатом назовем массивное тело, температура которого не меняется при контакте с газом. Термостат позволит нам под­ держивать желаемую температуру газа. Проводя в термостате при заданной температуре испытания над газом, получим кривую изо­

термы Р{ V). Непрерывное изменение температуры термостата дает непрерывную сеть непересекающихся изотерм. Отсюда следует принцип температуры: существует функция состояния газа в про­ цессах, протекающих в термостате, —температура.

Адиабатом назовем сосуд с теплонепроницаемыми стенками. Испытывая в адиабате газ, зарегистрируем кривую адиабаты Р( V). При непрерывной подкачке в адиабат теплоты (приведением в контакт с телом более высокой температуры) имеем непрерывную сеть непересекающихся адиабат. Отсюда следует принцип энтропии: существует функция состояния газа в процессах, протекающих в адиабате, —энтропия.

Сети изотерм и адиабат образуют систему криволинейных ко­ ординат на плоскости (Р, V). Эти координатные кривые можно локально отградуировать так, чтобы якобиан преобразования от координат (Т, S) к координатам (Р, V) всюду равнялся бы едини­ це. Тем самым по известным шкалам давления и объема опреде­ ляются шкалы абсолютной температуры Т и абсолютной энтропии S. Поскольку Т и S являются независимыми функциями состоя­ ния, последнее можно однозначно описать не только парой Р, V, но и другими парами независимых переменных состояния: Т, S', Р, Т; V, S', Р, S или V, Т.

Определим совершение элементарной работы газом как

ЬА = PdV Тогда работа определяется следующим соотношением:

V,

Поскольку давление определяется не объемом, а состоянием газа (объемом и температурой или объемом и энтропией), работа является не функцией состояния, а функцией процесса. Чтобы вы­ числить работу, нужно знать, как в течение процесса изменялась температура или энтропия.

Принцип энергии: существует функция состояния термодинами­ ческой системы U, называемая внутренней энергией. Значение этой функции может быть изменено двумя независимыми способами: а) совершением работы 5Л газом или б) подведением теплоты 8Q, т.е. приведением газа в контакт с телом, имеющим большую тем­ пературу, если в течение такого контакта газом не совершается ра­

бота, т.е. dU = 5Q-8A.

В адиабате второй канал изменения внутренней энергии ис­ ключен, поэтому функция состояния U, для адиабатических про­ цессов совпадающая с работой, есть

8As = PdVs = -dUs .

Для неадиабатических процессов очевидно

dU=-PdV+adS,

где параметр а —условие того, чтобы справа стоял полный диф­ ференциал. Используя принятую ранее нормировку якобиана, по­ лучаем

dU = TdS-PdV

Из принципа энергии и определения адиабатического потен­ циала получаем выражение для подведения теплоты в виде

8Q = TdS.

Подведенная теплота находится как

Поскольку температура определяется не энтропией, а состоя­ нием газа (энтропией и объемом или энтропией и давлением), подведенная теплота является не функцией состояния, а функци­ ей процесса. Чтобы вычислить подведенную теплоту, нужно знать, как в течение процесса изменялись объем или давление.

Трех сформулированных принципов оказывается достаточно, например, для доказательства невозможности построения тепловой машины с предельно высоким коэффициентом полезного действия (КПД), т.е. вечного двигателя второго рода.

Представим себе замкнутый цикл в плоскости (Р, V). Так как Т и S —функции состояния и возврат в ту же точку при осуще­ ствлении цикла в плоскости (Р, V) не меняет состояния, в плос­ кости ( Т, S) тоже реализуется цикл. Из принципа энергии следу­ ет, что в рассматриваемом цикле

j>dU = <^8Q-^&i4,

а так как при осуществлении цикла опять приходим в то же со­ стояние, то U есть функция состояния:

$50=<$&4,

т.е. площади циклов в плоскостях (Р, V) и (Г, 5) совпадают. Для вы­ полнения цикла с точки зрения координат {Т, S) необходимо полу­

чить теплоту Ql > 0 от нагревателя и отдать теплоту 0<Q2 <Q1 хо­

лодильнику, при этом только разница Ql -Q 2 =ф50 = ф&4 превра­

щается в работу. У теплового двигателя КПД т| = AjQ\ = -Q 2)/(?I •

Довольно легко показать, что наибольшим КПД обладает цикл Карно, описываемый прямоугольником в плоскости (Г, S) со сто­ ронами вдоль координатных осей. Описываем вокруг произволь­ ного цикла в этой плоскости такой прямоугольник, для которого величины полученной и отданной теплоты суть qx и q2, а для про­

извольного цикла — <7j - 8<7J и q2+bq2. Тогда

Л = (01 - q2- 8?i - 8?2)/(?1 “ 891)* («1 ~ Ь )/«1 •

Для цикла же Карно

Ч\ - 1\(,S2 -*У|), q2 - T2(Si - S 2) и Л - (Tj - Т2)/7^.

Как видно, КПД всегда меньше единицы и приближается к ней только в случае, если температуру холодильника устремить к абсолютному нулю. Для доказательства этого факта нам не потре­ бовалось знания каких-либо частных микроскопических механиз­ мов в газах, оно фактически основано на трех правдоподобных ос­ нованиях феноменологического характера, т.е. буквально «лежит на поверхности».

Бесспорными преимуществами феноменологического пути описания явлений, кроме универсальности, оказываются просто­ та, обозримость получаемых в итоге моделей и вытекающая отсюда возможность полнее изучить и понять причинно-следственные связи, ими описываемые (общий факт доказывается легче част­ ного).