Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)

описательных и объяснительных содержательных моделей на фор­ мальном уровне моделирования.

Другой пример дескриптивной модели —модель движения ра­ кеты после старта с поверхности земли. В качестве параметров модели в данном случае могут выступать начальное положение и начальная скорость ракеты (входные), ее начальная масса, импульс двигателя, режим его работы (собственные параметры), закон из­ менения сил притяжения и сил сопротивления атмосферы (внешние воздействия). Выходными параметрами будут положение и скорость центра масс ракеты и ее ориентация в пространстве в произвольный момент времени.

Оптимизационные модели предназначены для определения оп­ тимальных (наилучших) с точки зрения некоторого критерия па­ раметров моделируемого объекта или же для поиска оптимального (наилучшего) режима управления некоторым процессом. Часть параметров модели относят к параметрам управления, изменяя которые можно получать различные варианты наборов значений выходных параметров. Как правило, данные модели строятся с использованием одной или нескольких дескриптивных моделей и включают некоторый критерий, позволяющий сравнивать различ­ ные варианты наборов значений выходных параметров между со­ бой с целью выбора наилучшего. На область значений входных параметров могут быть наложены ограничения в виде равенств и неравенств, связанные с особенностями рассматриваемого объекта или процесса. Целью оптимизационных моделей является поиск таких допустимых параметров управления, при которых критерий выбора достигает своего «наилучшего значения».

Примером оптимизационной модели может служить модели­ рование процесса запуска ракеты с поверхности земли с целью подъема ее на заданную высоту за минимальное время при ограни­ чениях на величину импульса двигателя, время его работы, началь­ ную и конечную массу ракеты. Математические соотношения дес­ криптивной модели движения ракеты выступают в данном случае в виде ограничений типа равенств.

Отметим, что для большинства реальных процессов, конструк­ ций требуется определение оптимальных параметров сразу по не­ скольким критериям, т.е. мы имеем дело с так называемыми мно­ гокритериальными задачами оптимизации. При этом нередкими являются ситуации противоречивости критериев; например, при оптимизации конструкции рамы грузового автомобиля можно по­ требовать максимальной жесткости, минимальной массы и мини­

мальной стоимости. Для решения подобных задач используются специальные методы и алгоритмы.

Управленческие модели применяются для принятия эффектив­ ных управленческих решений в различных областях целенаправлен­ ной деятельности человека. В общем случае принятие решений яв­ ляется процессом, по своей сложности сравнимым с процессом мышления в целом [20]. Однако на практике под принятием реше­ ний обычно понимается выбор некоторых альтернатив из заданно­ го их множества, а общий процесс принятия решений представля­ ется как последовательность таких выборов альтернатив [20]. На­ пример, на предприятии освободилась должность главного инженера, и задача директора состоит в выборе из имеющегося множества кандидатов на эту должность одного, отвечающего за­ данным требованиям. Сложность задачи заключается в наличии неопределенности как по исходной информации (неполные данные о кандидатах) и характеру воздействия внешних условий (случай­ ное: выбранный кандидат заболел или отказался; игровое: мини­ стерство против выбранной кандидатуры), так и по целям (проти­ воречивые требования к выбираемой кандидатуре: должен быть хо­ рошим специалистом и администратором, опытен, энергичен, молод и пр.). Поэтому в отличие от оптимизационных моделей, где критерий выбора считается определенным и искомое решение ус­ танавливается из условий его экстремальности, в управленческих моделях необходимо введение специфических критериев оптималь­ ности, которые позволяют сравнивать альтернативы при различных неопределенностях задачи.

Поскольку оптимальность принятого решения даже в одной и той же ситуации может пониматься по-разному, вид критерия оп­ тимальности в управленческих моделях заранее не фиксируется. Именно в этом состоит основная особенность данных моделей.

Методы формирования критериев оптимальности в зависимо­ сти от вида неопределенности рассматриваются в теории выбора и принятия решений [20, 105], которая базируется на теории игр и исследовании операций [34, 77].

Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)

Метод реализации модели относят к аналитическим, если он по­ зволяет получить выходные параметры в виде аналитических выра-

Рис. 1.12. Классификация в зависимости отметодовреализации

жений, т.е. выражений, в которых используется не более чем счет­ ная совокупность арифметических операций и переходов к пределу.

Примеры аналитических выражений:

Частным случаем аналитических выражений являются алгебра­ ические выражения, в которых используется конечное или счетное число арифметических операций, операций возведения в целочис­ ленную степень и извлечения корня. Примеры алгебраических вы­ ражений:

ах2 + Ьх+ с, а + ь4х*+Лас.

Очень часто аналитическое решение для модели представляют в элементарных или специальных функциях: показательных, лога­ рифмических, тригонометрических, гиперболических и т.п. Для по­ лучения значений этих функций при конкретных значениях вход­ ных параметров используют их разложение в ряды (например, Тей­ лора). Так, показательная функция может быть представлена следующим рядом:

Учитывая различное число членов ряда, можно вычислять значе­ ние функции с различной степенью точности. Например, учет пер­ вых шести членов ряда в разложении показательной функции обес­

печивает точность в 10-4, а первых десяти —10~8. Таким образом, значение функции при каждом значении аргумента в этом случае определяется приближенно. Модели, использующие подобный при­ ем, называются приближенными.

Аналитические методы реализации модели являются более цен­ ными в том плане, что позволяют с меньшими вычислительными затратами изучить свойства объекта моделирования, применяя тра­ диционные хорошо развитые математические методы анализа ана­ литических функций. Существенно, что применение аналитичес­ ких методов возможно без использования ЭВМ (за исключением случаев, когда аналитическое решение определяется в рядах и для его доведения до числа требуются трудоемкие вычисления с при­ менением ЭВМ). Кроме того, знание аналитического выражения для искомых параметров позволяет исследовать фундаментальные свойства объекта, его качественное поведение, строить новые ги­ потезы о его внутренней структуре. Следует отметить, что возмож­ ности аналитических методов существенно зависят от уровня раз­ вития соответствующих разделов математики.

В настоящее время мощный всплеск интереса к аналитическим методам при реализации моделей связан с появлением пакетов ма­ тематических вычислений (Derive, MatLab, Mathcad, Maple, Mathematica, Scientific Workplace и др.). Спектр решаемых данными пакетами задач очень велик и постоянно расширяется (элементар­ ная математика, символьные операции с полиномами, производны­ ми и интегралами, с векторами и матрицами, задачи теории поля и векторного анализа, метод конечных элементов и т.п.). Примене­ ние подобных программных средств не только упрощает процеду­ ру получения аналитического решения, но и облегчает последую­ щий анализ полученного решения с применением различного рода визуализаторов. Достаточно подробное описание математических пакетов, их сравнение и анализ возможностей можно найти в [92].

К сожалению, существующие в настоящее время математичес­ кие методы позволяют получить аналитические решения только для относительно несложных математических моделей в узком диапа­ зоне значений параметров. В большинстве случаев при исследова­ нии моделей приходится использовать алгоритмические подходы, позволяющие получить лишь приближенные значения искомых параметров.

При численном подходе совокупность математических соотно­ шений модели заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений» т-е- пе­

реходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискрет­ ного аргумента. После дискретизации исходной задачи выполня­ ется построение вычислительного алгоритма, т.е. последовательно­ сти арифметических и логических действий, выполняемых на ЭВМ и позволяющих за конечное число шагов получить решение диск­ ретной задачи. Найденное решение дискретной задачи принимает­ ся за приближенное решение исходной математической задачи.

Степень приближения определяемых с помощью численного метода искомых параметров модели зависит как от погрешностей са­ мого метода, связанных с заменой исходной модели ее дискретным аналогом, так и от ошибок округления, возникающих при выполне­ нии любых расчетов на ЭВМ в связи с конечной точностью пред­ ставления чисел в ее памяти. Основным требованием к вычисли­ тельному алгоритму является необходимость получения решения исходной задачи с заданной точностью за конечное число шагов.

К настоящему времени круг вопросов, связанных с разработ­ кой и использованием численных методов, а также с построением на их основе вычислительных алгоритмов, выделился в самостоя­ тельный быстро развивающийся и обширный раздел —вычислитель­ ную математику.

Если при численном подходе дискретизации подвергалась по­ лученная система математических соотношений, то при имитаци­ онном подходе на отдельные элементы разбивается сам объект ис­ следования [66]. В этом случае система математических соотноше­ ний для объекта-системы в целом не записывается, а заменяется некоторым алгоритмом, моделирующим ее поведение и учитыва­ ющим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элемен­ тов системы. Модели отдельных элементов могут быть как анали­ тическими, так и алгебраическими.

Алгоритмические модели, использующие как численный, так и имитационный подход, не позволяют получить решения задач в аналитической форме, что затрудняет и усложняет процесс анали­ за результатоЭ Моделирования. Так как применение моделей дан­ ного типа возможно лишь при наличии вычислительной техники, то их эффективность зависит от мощности и быстродействия ЭВМ. Несомненным Достоинством алгоритмических моделей является отсутствие принципиальных ограничений на сложность модели, что позволяет применять их для исследования систем произвольной сложности.

Использование математической модели, построенной алгорит­ мическими методами, аналогично проведению экспериментов с ре­

альным объектом, только вместо реального эксперимента с объек­ том проводится вычислительный эксперимент с его моделью. Зада­ ваясь конкретным набором значений исходных параметров модели, в результате вычислительного эксперимента находим конкретный набор приближенных значений искомых параметров. Для исследо­ вания поведения объекта при новом наборе исходных данных необ­ ходимо проведение нового вычислительного эксперимента.

•Вопросы для самопроверки

1.Что такое модель и моделирование? Цели моделирования?

2.В каких областях человеческой деятельности применяются моде­

ли?

3.Можно ли отнести мифологию к моделированию? Почему?

4.Какие типы моделей используются в изучаемых вами дисциплинах (включая дисциплины вузовского и/или школьного курса)?

5.Какие существуют типы моделирования?

6. В чем отличие моделирования натурного от мысленного?

7. Назовите характерные особенности аналоговых моделей.

8. Что такое когнитивная модель?

9. Какие модели называют содержательными?

10. Назовите разновидности содержательных моделей.

11.Чем концептуальная модель отличается от содержательной?

12.Что такое формальная модель?

13.Какое моделирование называется математическим?

14.Какие примеры математических моделей вам известны?

15.Сформулируйте достоинства математических моделей.

16.Приведите и проанализируйте различные примеры определений математических моделей.

17.Что может выступать в качестве оператора при математическом моделировании?

18.Почему информационные модели нельзя считать разновидностью математических?

19.По каким классификационным признакам можно разделять ма­ тематические модели?

20.Чем простые модели отличаются от сложных?

21.В чем заключается сложность моделирования систем?

22. Какие типы моделей можно выделить по виду оператора модели­

рования?

23.Чем отличаются линейные и нелинейные модели?

24.Какие типы моделей выделяются по виду параметров моделиро­

вания?