ниям первого рода. Если для нахождения этого показателя требу­ ется решить специальную задачу на собственные значения, то со­ ответствующие решения именуют автомодельными второго рода.

Удивительно то, что в нелинейных системах решения такого рода соответствуют некоторому классу начальных условий. Такие системы со временем забывают «случайные черты» начальных ус­ ловий и стремятся к автомодельному решению (или одному из ав­ томодельных решений, если их несколько). Подробнее это будет рассмотрено ниже.

6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ

Поистине восхищения заслуживает изобре­ тательность, с которой природа столь тонко и разнообразно маскирует простоту под сложность!

П. Эткинс

Линейное волновое уравнение (6.7) прекрасно описывает рас­ пространение звука, когда его громкость невелика (при этом ско­ рость звука не зависит от громкости). Если звук очень громкий, например от взрыва, то может возникнуть ударная волна. Ее ско­ рость зависит от разности давлений за волной и перед ней. Для описания такого поведения требуется формулировать нелинейную модель. Однако получение решения и качественное исследование нелинейной модели требует других подходов, поскольку даже ма­ лая нелинейная добавка качественно меняет ситуацию: сумма двух решений уже не удовлетворяет уравнению. Принцип суперпозиции «не работает» й «сшить» ’общее решение из частных уже не удается.

Исследуем, к каким качественным изменениям приводит по­ явление нелинейности в простейших математических моделях на примере уравнения теплопроводности, по виду совпадающего с уравнением диффузии (6.50)

дТ _ ,д 2Т

(6.53)

где к > 0 —коэффициент теплопроводности, Т> 0 —температура. Оно описывает передачу тепла, диффузию частиц, проникновение магнитного поля в плазму и некоторые другие процессы.

ков тепло передается менее нагретым, при этом температура пер­ вых уменьшается, а вторых —повышается. Поскольку количество

тепла остается неизменным, то AL ~ const.

Теперь рассмотрим среду, в которой происходит процесс го­ рения [59, 60, 67]. При этом в правой части уравнения теплопро­ водности появляется новый член, описывающий тепловыделение источников. Будем считать, что интенсивность горения пропорци­ ональна температуре. Это приводит к линейному уравнению

Решение этого уравнения при тех же начальных условиях представлено на рис. 6.6,6. Как видно, амплитуда А растет, а по­

луширина меняется по закону L ~ № . Таким образом, закономер­ ности очень похожи. В чем причина? Оказывается, уравнение (6.54) можно привести к виду (6.53), если ввести замену перемен­

ной 7* = exp(qt) Т. Значит, А - exp(qt)t№, что совпадает с резуль­

татами расчета.

Посмотрим, что произойдет, если источник нелинеен:

at Эдг

Нелинейный член описывает прекращение горения при боль­ ших температурах. Это может быть связано с выгоранием топли­ ва или большей ролью эндотермических реакций с ростом Т. Урав­ нение (6.55) возникает не только в теории горения. С его помо­ щью моделируют распространение эпидемий, прохождение импульса по нервному волокну. Посмотрим, как выглядят реше­ ния этого уравнения (рис. 6 .6 ,в).

Они разительно отличаются от того, что мы видели раньше: возникает тепловая волна, распространяющаяся с постоянной ско­ ростью, причем амплитуда волны стремится к постоянному зна­ чению (q/а )1/2. Но известно, что бегущая волна —это автомодель­

ное решение вида Т* (±т\t), сохраняющее свою форму. Причем в

отличие от линейного уравнения теплопроводности, где существует бесконечный набор собственных функций Тр Т2, ..., здесь функ­ ция 7* только одна и определяется свойствами нелинейной среды

(в нелинейных уравнениях собственных функций может оказать­ ся конечное число). Роль функции Т* в модели тепловых струк­ тур велика. Она определяет локализованные конфигурации в пре­ делах, в которых процессы идут согласованно. Именно поэтому ее во многих работах называют собственной функцией нелинейной среды. Однако в отличие от линейных задач она описывает лока­ лизованные процессы и никак не связана с краевыми условиями.

Наличие источников и стоков является типичным в так назы­ ваемых открытых системах, которые в отличие от замкнутых мо­ гут обмениваться с окружающей средой энергией, веществом, ин­ формацией. «Забывание» начальных данных, т.е. стремление для целого класса начальных профилей к одному и тому же решению характерно для большого класса открытых нелинейных систем. Причем это решение часто оказывается автомодельным. Такое поведение говорит о возникновении упорядоченности в системе или о самоорганизации. В самом деле, «выход» на автомодельное решение означает уменьшение числа степеней свободы и выделе­ ние нескольких основных (параметров порядка), к которым под­ страиваются все остальные.

Рассмотрим систему с нелинейным коэффициентом теплопро­ водности к и нелинейным источником, обладающим следующим свойством: чем больше отклонение от равновесия, тем быстрее идет процесс

Такие модели характерны для физики плазмы, химической кинетики, экологии, разрушения, пластичности.

Система (6.56) обладает еще более необычайными свойствами. Обратим внимание на два принципиальных отличия от всех дру­ гих решений, обсуждавшихся выше. Профиль температуры оказы­ вается локализованным внутри некоторой области G^, вне которой 1\х, t) равна нулю (рис. 6 .6 ,г). Из непрерывной среды при этом выделяются ограниченные участки, в пределах которых и проис­ ходит горение. Решение существует только в течение ограничен­ ного времени tp называемого временем обострения. За это время функция 7\х, f) в конечной области обращается в бесконечность.

До недавнего времени математики полагали, что такие реше­ ния не представляют особого интереса и наличие их говорит о не­ совершенстве модели. Однако развитие физики плазмы, газовой

динамики, других областей привело к появлению содержательных задач, в которых ведущими оказываются один или несколько наи­ более быстрых процессов. Если посмотреть внимательно на реше­ ние, то оказывается, что профили температуры в процессе эволю­ ции остаются подобными себе. Возникает вопрос: не определяют­ ся ли и они автомодельными решениями? Действительно, на развитой стадии (когда выделяется много больше тепла, чем в на­ чальный момент времени) процесс горения описывается формулой

« ( о - К Г " ™

Обратим внимание на то, что в пределах области локализации горение происходит согласованно в разных точках пространства. Выход на решение вида (6.57) говорит о спонтанном возникнове­ нии упорядоченности, о формировании локализованных структур. Для э'ГОЙ нелинейной среды также характерно «забывание» дета­ лей начальных данных, что в некотором смысле парадоксально. В среде, где есть только горение и теплопроводность - диссипа­ тивной процесс, связанный с рассеянием энергии и обычно унич­ тож ает™ всякую упорядоченность, —возникают структуры, со­ храняющие свою форму. Чтобы подчеркнуть необычность этого яв­ ления, их называют диссипативными структурами.

Познакомимся подробнее с тепловыми структурами. Ясно, что у них есть две важные характеристики —время их жизни /уи об­

ласть локализации Gx. Если в среде независимо развиваются две локалИзованные структуры с разными временами обострения

f f 2 > If\ >то практически горение происходит на характерных вре­

мена^ я (/i> т.е. только в первой, и замирает во второй структуре. рйдпьно живут в одном мире только структуры с одинаковы­ ми вр^енами обострения. Если попробовать объединить несколь­

ко стрУ^УР так>чтобы их области локализации пересекались, структуры начинают взаимодействовать, возникает волна горения сложг^й формы, сходящаяся к центру. Однако эта форма с рос­ том т£РдпеРатУРы меняется, и в конце концов остается одна про­ стая (МСТР° горящая структура. Возникает вопрос, можно ли по­