строить сложные структуры, сохраняющие в процессе эволюции свою форму. Проблема набора форм, заключенного в различных средах, является очень глубокой. И для древних философов, и для многих физиков-теоретиков, занимающихся элементарными час­ тицами, характерно представление о сложном наборе структур, ко­ торые потенциально заключены в среде. Некоторые из них встре­ чаются часто, другие могут появляться только в определенных ус­ ловиях. Однако и те, и другие характеризуют глубокие внутренние свойства системы.

Посмотрим на собственные функции нелинейной среды с дру­ гой точки зрения. Начальные условия можно рассматривать как воздействия на нашу систему. Пусть задача состоит в том, чтобы создать в среде сложную структуру желаемой организации. Оказы­ вается, что для ее решения достаточно задать начальный профиль температуры малой амплитуды, согласованный с собственными функциями нелинейной среды. Для того чтобы воздействие на не­ линейную систему было эффективным, оно должно быть согласо­ вано с ее внутренними свойствами. Такое воздействие, даже буду­ чи слабым, окажется действеннее, чем в тысячи раз более сильное, но не согласованное со свойствами системы.

6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ

В поисках истины логика нащупывает свой путь по отклонениям от обычного и заурядного.

Э. По

Поскольку большинство ранее рассмотренных примеров соста­ вили волны, то нельзя не рассказать о нелинейных волнах на мел­ кой воде, к которым относят цунами [96]. Цунами —необычайно высокие и мощные волны, обрушивающиеся на побережья океа­ нов. Чаще всего цунами возникают в результате сильных подвод­ ных землетрясений, сопровождающихся быстрым образованием на дне океана сбросов, обвалов и оползней. Быстрое смещение бло­ ков горных пород, словно гигантский поршень, выталкивает ог­ ромные массы воды в виде горба на поверхность океана. Неверо­ ятно страшная волна высотой 30—40 м образовалась при взрыве вулкана Кракатау в 1883 г., в течение нескольких минут она смы­ ла с индонезийских островов 35 тысяч человек.

Цунами необычайно устойчивы —удаляясь от своего (практи­ чески точечного) источника на многие тысячи километров, они способны пересечь Тихий океан. Так, Чилийское цунами в 1960 г. нанесло значительный урон Японским и Курильским островам.

Эти волны очень длинные (длина волны составляет 100-300 км) и пологие —даже сильнейшие цунами имеют в открытом оке­ ане высоту не более чем 2 м. Суда, которые оказались в открытом океане на пути цунами, обычно не ощущают их. Скорость этих волн — колоссальная, в зависимости от глубины океана может достигать от 400 до 850 км/ч. Высота цунами уменьшается над большими глубинами и увеличивается на мелководье. Скорость, напротив, возрастает на больших глубинах и снижается на малых. Подходя к берегу, длина и скорость волны уменьшаются, а ее высота увеличивается (кинетическая энергия преобразуется в по­ тенциальную), волна принимает резко асимметричную форму и опрокидывает свой гребень вперед, тараном обрушиваясь на берег.

Вероятно, читатель сразу отметил, что некоторые детали указывают на нелинейную природу этих волн (например, суще­ ствование зависимости скорости от амплитуды). Поэтому строить линейные модели здесь бессмысленно, они не будут адекватными. Вероятно, первым естествоиспытателем, очарованным нелинейной волной, был англичанин Дж. Рассел (кстати, конструктор гигант­ ского океанского лайнера «Грейт Истерн», с которого укладывал­ ся первый трансатлантический телеграфный кабель). В 1834 г., прогуливаясь верхом вдоль узкого судоходного канала, он заметил, как от остановившейся баржи отделилось и побежало вперед боль­ шое одиночное возвышение («водяной холм»), которое продолжа­ ло свой путь, нисколько не меняя своей формы и не снижая ско­ рости, пока, как писал Рассел, «через одну или две мили погони я не потерял его из виду». Это наблюдение вдохновило Рассела про­ вести экспериментальное изучение поверхностных волн на воде, в результате чего были воспроизведены уединенные волны и полу­ чено выражение для скорости их распространения

v = Jg(h +л),

где g — ускорение свободного падения; Л —глубина спокойной жидкости; т| —высота гребня волны над поверхностью спокойной жидкости. Заметим: скорость распространения волны зависит от ее амплитуды; Этот результат наблюдательного ученого не был понят многими известными его коллегами и полемика продолжалась

полстолетия, пока голландцы Д. КортевеГ Н Г- де ФРИз не вывели своего уравнения мелкой воды:

v,+ 6wx + Vxxx=0.

Это уравнение —квазилинейное, параболического типа; v — скорость материальной точки жидкости, нИЭкнйй Индекс, как и ра­ нее, обозначает частную производную по сооТВетСтЭУКмДему аргу­ менту.

Далее рассмотрим другое нелинейное /Равнение распростране­ ния нелинейных волн, обладающее всеми Особенностями уравне­ ния для описания цунами, - интегродифференциальное уравнение в частных производных

предложенное в 1967 г. Дж. Уиземом [23, 63]. Но прежде остано­ вимся на важных «атрибутах» нелинейных воли —дисперсии и не­ линейности.

Пусть рассматривается линейное дифференциальное уравнение в частных производных по х и t (с постоянными коэффициента­ ми), которое в символической форме имеет вид

где Р —некоторый полином. Подставим Решение в нормальной форме

где к —волновое число (вещественное); to —частота (комплексное число), в уравнение (6.59):

<7(ю, k)Aexp(ikx-id)i) = 0,

где G —полином. Экспонента не может обращаться в нуль при

всех х, t, поэтому нетривиальное решение (6.59) (Л * 0 ) существу­ ет, если А: и со связаны дисперсионным соотношением

Предположим, что (6.61) позволяет определить ю как веще­ ственную функцию волнового числа к. Для каждой моды (т.е. каж­

дого к) точки постоянной фазы перемещаются с фазовой скорос­ тью

то говорят, что волна, описываемая уравнением (6.59), перемеща­ ется без дисперсии [1]. В противном случае имеет место дисперсия волн, фазовая скорость их становится различной и поведение ре­ шения зависит от того, как волны интерферируют друг с другом.

В такой ситуации вводят групповую скорость cT=da>/dk, значение

которой состоит в том, что по истечении достаточно большого времени каждое волновое число доминирует в решении в области

х - crt + 0(t).

Дисперсионное уравнение для волнового уравнения (6.7) было нами уже получено (6 .21): а>=±ак, откуда с= а, следовательно, волны распространяются без дисперсии. Для уравнения диффузии

(6.53) имеем со= кк2, откуда с = сг/2 = кк (к —коэффициент диф­ фузии), т.е. наблюдается дисперсия волн (иное было бы странно для уравнения диффузии). Как уже известно, решения (6.59) мо­ гут быть представлены в виде суперпозиции (суммы или интегра­ ла) по к волн вида (6.60). Поэтому смысл дисперсии волн —в «раз­ мазывании» с течением времени волнового возмущения по про­ странству. Недиспергирующие среды переносят это возмущение без изменения его формы.

Сказанное относится к линейным уравнениям и к зависимос­ ти <а(к) (не путать с зависимостью скорости волны от ее амплиту­ ды с(А), существующей только для нелинейных волн). В простран­ ственном случае (т.е. когда независимые переменные дифферен­ циального уравнения суть t, г), нормальная форма решения имеет

вид плоской волны v = А ехр(/Л ■г - Ш) (к — волновой вектор).

В неоднородных, или нелинейных, средах уравнение (6.59) стано­ вится почти линейным, квазилинейным или сильно нелинейным, и попытка дать определение дисперсии волн затруднительна, по­

скольку у упомянутых уравнений, как пр0в^ о , отсутствующ реше­

— оо

Подставляем в него решение вида (6.60):

mexp(ikx) - $ К (х - s)ik exp(‘ks)ds =0.

После деления на ikexp(ikx) и замены переменной x —s ^ y под интегралом получаем

с(Л;)=! = J K{y)sxp{-iky)cfy.

Поскольку правая часть представляет собой преобразование Фурье ядра К(у), выполняя обратное преобразование, запишем

К(х) = -^- ? c(k)exp(ikx)dk. 2к J

— оо

Таким образом, задаваясь любой желаемой функцией с(к) (дисперсионной зависимостью), можно определить соответствую­ щее ядро К(х), т.е. модельное уравнение описывает дисперсию волн.

Теперь остановимся на вопросе нелинейности. Нелинейность уравнения Уизема (6.58) связана с конвективным членом wy Про­ стейшее уравнение в частных производных, обладающее этой не­ линейностью, имеет вид

И носит название уравнения Эйлера [23]. Снабдим его начальными условиями

Но (6.65) нам уже встречалось раньше. Комбинация у; + уух

часто присутствует в уравнениях динамики жидкости и газа и, как было показано, появляется при переходе от материальных (лагранжевых) координат к пространственным (эйлеровым). Без такого пе­ рехода вместо исходного квазилинейного уравнения вида

у, + уух + L(v) = 0 имели бы почти линейное уравнение v + Z(v)= 0 : избавившись от wx, получаем неоднородные коэффициенты в ос­ тальной части оператора - L(v) ■Однако в этом случае будем

иметь решение, определенное в материальных (лагранжевых) пе­ ременных, координаты которых в пространстве сами требуют оп­ ределения из системы дифференциальных уравнений (каких?). При описании развитого турбулентного движения второй подход явля­ ется намного сложнее. К тому же в механике жидкости и газа гра­ ничные условия чаще задаются на пространственной (неподвиж­ ной) границе области (каналы, резервуары или просто произволь­ ная область пространства, сквозь которую стационарно течет среда).

Ранее было найдено уравнение характеристик для (6.65):

dx/dt = v(x,/). Если бы поле v (х, t) было постоянным, то общее ре­

шение (6.65) имело бы вид v = f{ x -v t). Подстановка такого пред­

ставления в исходное уравнение с учетом начальных условий дает нам неявное решение

обнаруживающее некоторую зависимость скорости от амплитуды (а не позволит ли нам это описать свойства волн цунами и опро­ кидывание волн?).

Качественный ответ на вопрос можно получить с помощью характеристик. Пусть начальная функция v0(x) имеет вид, пред­ ставленный на рис. 6.7,о. Выберем материальную точку с коорди­ натой £ и построим проходящую через нее характеристику Г^:

x = £+v0(£)f с углом наклона l/v0(£) (рис. 6.7,6).

Выберем момент времени ги определим графически из рис. 6.7,6 эйлерову координату хк материальной частицы Теперь точку х, VQ(^) м о ж н о о т л о ж и т ь на плоскости (х, v). Выполнив эту проце­ дуру со всеми материальными точками £, оси, получим профиль v(x, t) волны на плоскости (х, у).

Обратимся вновь к рис. 6 . 1 , а , б и замеТим, ч?о при данном начальном профиле характеристики дол*ны неизбежно пересечь­ ся, начиная с некоторого *. Это рзначае^» Что при t > tp функция v (х, t) оказывается неоднозначной (рис. (>•?>в).

Из построенных графиков и (6.67) видно, что чем больше амплитуда начальной скорости v0(x) материальной точки в х, тем с большей скоростью она распространяется. Гребень волны неиз­ бежно опережает ее подошву. То есть уравнение Эйлера описыва­ ет опрокидывание волн! Здесь нужно отметить, что интерпретация этого явления зависит от того, что понимать под смыслом реше­ ния уравнения. Если допустить неоднозначные решения v (х, t), то столкнемся с опрокидыванием волны, а если считать его однознач­ ным, то уравнение Эйлера опишет разрушение волны, т.е. обра­ зование разрыва скорости. Такое решение будет пониматься в ином, неклассическом смысле.