ся в том, что центр назначает правила формирования воздействий на производителей и тем самым имеет возможность направлять в нужное для него русло действия нижних элементов. Данную схему несложно обобщить до многоуровневой веерной структуры, кото­ рая широко используется в экономике.

В заключение можно отметить следующее. Как было показано, структурные модели нашли широкое применение в различных об­ ластях целенаправленной деятельности человека. В некоторых слу­ чаях они помогают построить модель исследуемой системы или процесса, а иногда являются единственно эффективным инструмен­ том при моделировании. Однако остается вопрос: «Как правильно строить структурные модели?» Постараемся дать на него ответ.

4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ

Не упрощайте жизнь, она и так проста: В ней всюду и всему отведены места.

Не усложняйте жизнь, она и так сложна: Чтобразобраться в ней, вторая жизнь нужна.

В. Кривилев

При структурном моделировании широко применяются мето­ ды анализа и синтеза. С помощью методов анализа производится разделение рассматриваемого объекта на части и исследование каж­ дой из этих частей в отдельности. Методы синтеза, наоборот, слу­ жат для соединения частей в целое. Следует отметить, что при

•структурном моделировании методы анализа и синтеза необходи­ мо применять совместно. Важно не просто разбить целое на отдель­ ные элементы, но и соединить эти элементы таким образом, чтобы они снова образовали единое целое. С этой точки зрения синтез является завершающим этапом анализа, так как только после это­ го этапа можно объяснить целое через его части —в виде структу­ ры целого. Это связано с тем, что при анализе теряются важные свойства объекта как целого (разобранный автомобиль не поедет), так и отдельных его элементов (оторванный руль «не рулит»). По­ этому, как отмечал один из ведущих специалистов по системному анализу Р. Акофф, результатом анализа является лишь вскрытие структуры системы, знание о том, как система работает, но не понимание того, почему и зачем она это делает. Только после син­

теза можно объяснить поведение системы, рассматривая каждый элемент и его роль через призму всей системы.

Таким образом, анализ и синтез нельзя рассматривать как от­ дельные методы. Они дополняют друг друга и при структурном мо­ делировании должны применяться совместно. Только в этом слу­ чае построенная структурная модель будет отражать основные свой­ ства исследуемого объекта согласно поставленным целям.

Теперь рассмотрим методы анализа и синтеза более подробно. Начнем с методов анализа, которые нашли широкое применение в науке и практике. В математике давно с успехом применяются та­ кие аналитические методы, как разложение функций в ряды, спек­ тральный анализ, дифференциальное и интегральное исчисление; в физике —методы молекулярной динамики; на производстве —кон­ вейерная технология изготовления.

Как было отмечено выше, основной операцией при анализе яв­ ляется разделение целого на части. В дальнейшем эту операцию будем называть декомпозицией и понимать под ней метод разложе­ ния системы на отдельные элементы. В результате декомпозиции исходная система распадается на подсистемы, задача —на подзада­ чи и т.д. При необходимости операция декомпозиции может по­ вторяться несколько раз, что приводит к древовидным структурам системы.

Основной проблемой при декомпозиции является ее неодноз­ начность. Понятно, что одну и ту же систему можно разбить на раз­ личные подсистемы в зависимости как от опыта исследователя, так и от применяемой методики анализа. Поэтому в системном анали­ зе существуют специальные критерии для обоснования процесса де­ композиции. Одним из таких критериев является полнота деком­ позиции, которая в свою очередь связана с полнотой модели сис­ темы, взятой в качестве исходной при декомпозиции.

Как было указано в разд. 4.1, в системном анализе рассматри­ ваются только четыре формальные модели системы: «черного ящи­ ка», состава, структуры и «белого ящика». Очевидно, что для де­ композиции подходят только последние три модели, которые по­ зволяют рассматривать систему через взаимодействие ее отдельных элементов. Поэтому одной из проблем системного анализа являет­ ся накопление наборов полных формальных моделей (полнота здесь рассматривается относительно поставленной цели) для различных исследуемых систем, получивших в теории искусственного интел­ лекта название фреймов [83].

Известны фреймы для некоторых информационных, организа­ ционных и социальных систем [83]. Однако построение и обосно­

вание фреймов для произвольной системы остается сложной зада­ чей, от решения которой во многом зависит успех декомпозиции. Рассмотрим, например, педагогический процесс в высшем учебном заведении (вузе). Фреймом при декомпозиции в данном случае мо­ жет служить формальная модель деятельности человека, предложен­ ная еще К. Марксом в «Капитале» для анализа процесса труда (рис. 4.8). В качестве элементов здесь выделены: субъект деятельности, объект, на который направлена деятельность, и средства, исполь­ зуемые в процессе деятельности, а также все возможные связи между ними и окружающей средой. Используя эту формальную мо­ дель, можно построить модель педагогического процесса в вузе, ва­ риант которой изображен на рис. 4.9. Здесь субъектом выступает преподаватель вуза, объектами —студенты, а средствами —методи­ ческие, информационные и технические средства обучения (учеб­ ные программы изучаемых предметов, методические и учебные по­ собия, лабораторная база и т.д.). Окружающая среда описывается с помощью трех элементов: школы, вуза и министерства, которые оказывают существенное влияние на организацию учебного процес­ са (понятно, что число элементов, входящих в приведенную струк­ турную модель, может быть гораздо больше).

Рис 4.8. Полная формальная модель деятельности человека

Однако при декомпозиции необходимо учитывать и другой кри­ терий —простоту, который требует сокращения размеров древовид­ ной структуры. Таким образом, при декомпозиции должен быть принят некий компромисс между полнотой и простотой, который может быть достигнут в том случае, если в структурную модель

Рис 4.9. Формальная модель педагогического процесса в «узе

включаются только элементы, существенные по отношению к цели анализа.

Число уровней декомпозиции (уровней древовидной структу­ ры) выбирается из следующих соображений. Декомпозиция по каж­ дой из ветвей древовидной структуры ведется до тех пор, пока не приведет к получению элементов системы, не требующих дальней­ шего разложения. Такие составляющие называются элементарны­ ми. Отметим, что понятие элементарности составляющей системы должно быть конкретизировано в каждом рассматриваемом случае отдельно. При этом могут быть использованы как формализован­ ные (с помощью критериев), так и неформализованные (с помощью экспертов) способы. Например, в некоторых случаях многомерную задачу механики сплошной среды удается разложить на последова­ тельность одномерных задач, имеющих простое (аналитическое) решение. Тогда каждую из этих одномерных задач можно считать элементарной частью исходной системы.

Часть системы, которую нельзя считать элементарной на осно­ вании выбранных критериев, подлежит дальнейшей декомпозиции. При этом могут использоваться различные фреймы. Если исследо­ ватель «перебрал» все фреймы, но не достиг элементарности на какой-либо ветви древовидной структуры, то вводятся новые эле­ менты в модель, взятую в качестве основания, и декомпозиция про-

Рис. 4.10. Пример вычислительного агрегата

Возникновение качественно новых свойств при агрегировании есть частное, но яркое проявление одного из законов диалектики — закона перехода количества в качество. При этом считается, что чем больше свойства агрегата отличаются от свойств его элементов, тем выше организованность системы. Кибернетик У. Эшби доказал, что у системы тем больше возможностей в выборе поведения, чем силь­ нее степень согласованности поведения ее элементов. Высшая сте­ пень проявления согласованности поведения элементов системы — самоорганизация системы, изучением которой занимается относи­ тельно молодая междисциплинарная область знаний —синергети­ ка [81] (от греч. synergos —вместе действующий).

Таким образом, как следует из вышеизложенного, при агреги­ ровании большое значение имеет установление связей между эле­ ментами, т.е. выбор модели структуры. Значит, в самом общем виде агрегирование можно определить как установление отношений на заданном множестве элементов. Такое установление отношений может быть проведено различными способами: построением мате­ матических зависимостей, структурированием, статистической об­ работкой, классификацией и т.п. В результате получаются различ­ ные агрегаты, основными из которых являются следующие [83]: конфигуратор, классификатор, оператор, статистик и структура. Рассмотрим эти агрегаты более подробно.

Конфигуратором называется такой агрегат, который состоит из качественно различных языков описания исследуемого объекта и обладает тем свойством, что число этих языков минимально, но не­ обходимо для выполнения заданной цели. Следует отметить, что конфигуратор является содержательной моделью высшего возмож­ ного уровня. Перечислив языки, на которых будет вестись описа­ ние системы, мы тем самым определяем тип системы и ее основ­ ные свойства.

Например, в радиотехнике для описания одного и того же при­ бора используется следующий конфигуратор: блок-схема, принци­ пиальная схема и монтажная схема. Этот конфигуратор полностью описывает рабочие характеристики прибора. Однако если кроме цели производства радиоаппаратуры ставится цель ее сбыта, то в конфигуратор необходимо добавить язык рекламы (маркетинг, дизайн, цена и т.п.).

В инженерной графике для описания поверхности любого трех­ мерного тела в качестве конфигуратора используются совокупность трех ортогональных проекций. Число их нельзя уменьшить и неце­ лесообразно увеличивать.

А какой конфигуратор применяется при математическом мо­ делировании? Выбор языка зависит от вида модели. Понятно, что основной язык для математической модели —язык математических формул. Однако, как было отмечено в гл. 1 и 2, важными этапами математического моделирования являются содержательная и кон­ цептуальная постановки задачи. На этапе содержательной постанов­ ки осуществляется словесная постановка задачи на том языке, на котором она формулируется заказчиком. На этапе концептуальной постановки выполняется запись задачи на языке тех областей зна­ ний, которые используются при моделировании рассматриваемого объекта. Поэтому конфигуратором в данном случае можно считать содержательную, концептуальную и математическую постановки задачи.

В качестве классификатора выступает агрегат, устанавливаю­ щий отношения эквивалентности между элементами системы, т.е. описывающий условия образования классов.

Говорят, что на множестве А определено отношение R, если по некоторому правилу составлены упорядоченные пары элементов,

находящихся в отношении. При этом пишут aRb, a,be А. Отношение R на А, удовлетворяющее аксиомам:

1) a R а (элемент а эквивалентен самому себе),

2) aRb=$bRa {если элемент а эквивалентен элементу Ь, то эле­

мент b эквивалентен элементу а),

3) a R b, bRc=>aRc (если элемент а эквивалентен элементу b

и элемент b эквивалентен элементу с , то элемент а эквивалентен элементу с),

называется отношением эквивалентности. Оно разбивает множество элементов системы на классы.

Следующим типом агрегата является оператор, который ставит в соответствие некоторому набору отдельных элементов один эле­ мент.

Наиболее распространенный в математическом моделирова­ нии вид оператора —функция. Этот вид оператора появляется, если агрегируемые элементы измеряются в числовых шкалах. В таком случае можно задать отношение на множестве элементов в виде чис­ ловой функции многих переменных /, которая и является агрега­ том, т.е.

(4.4)

где Rn —«-мерное евклидово пространство; R —вещественная ось. Здесь элементом отображаемого пространства Rn является «-мер­

ный вектор переменных системы x = (xi,x2,- ,x n), характеризующий

ее поведение.

Приведенный вид функции —один из простейших. В общем случае области определения и значений функции могут относится к более сложным пространствам и множествам. Конкретное зада­ ние функции J{x) связано с построением математической модели рассматриваемой системы. Поэтому на выбор функции накладыва­ ются ограничения, вытекающие из содержательной постановки задачи, т.е. этот выбор не является свободным. В тех же (достаточ­ но редких) случаях, когда оператор-функция является вполне адек­ ватной математической моделью всей системы, свобода выбора функции, агрегирующей набор внутренних переменных, вообще отсутствует. Такой случай имеет место, например, когда закономер­ ности природы удается с достаточной степенью адекватности ото­ бразить безразмерными степенными одночленами физических раз­ мерных величин. При этом можно утверждать, что если удалось построить безразмерный степенной одночлен из размерных физи­ ческих величин, образующих конфигуратор определенного явления, то установлен физический закон данного явления. Это легко мож­ но показать на примере второго закона Ньютона, описывающего по­ ступательное движение твердого тела. Безразмерный одночлен здесь имеет вид

что подтверждает правомерность полученного закона.

К сожалению, построить функциональную зависимость, адек­ ватно описывающую поведение сложной системы, очень трудно,

а иногда практически невозможно. Гораздо проще установить фун­ кциональные зависимости между отдельными элементами системы. В этом случае оператор будет представлять собой некоторую (часто нелинейную) систему уравнений. Как правило, внутренними пере­ менными системы являются не числа, а функции одного или не­ скольких аргументов. Тогда выходными параметрами могут высту­ пать также функции, или функционалы. Например, для динами­ ческих систем, описывающих процессы и явления, изменяющиеся во времени, связь между внутренними параметрами x(t) и выход­ ными параметрами системы y(t) в операторной форме имеют вид

где оператор/обычно представляет собой систему дифференциаль­ ных уравнений, Т —время протекания процесса. Пример построе­ ния подобного оператора для механической системы, состоящей из нескольких тел, будет приведен ниже.

При математическом моделировании сложных систем постро­ ить оператор /бывает совсем не просто. Это связано со многими причинами. Основной из этих причин можно считать недостаток информации о характере и механизмах взаимодействия между от­ дельными элементами системы. Например, эти взаимодействия могут носить случайный характер, закон которого нам неизвестен. В этом случае говорят, что моделирование ведется в условиях нео­ пределенности, а оператор / может быть найден только с некото­ рой ограниченной точностью, например с точностью до конечного числа параметров 0 = (01,02,...,0П):

Обычно считается, что параметры 0 носят случайный характер или могут быть определены в ходе самого моделирования с помо­ щью методов идентификации [57]. В этом случае используются системы с обратной связью [83]. (Более подробно о способах моде­ лирования в условиях неопределенности будет сказано в следую­ щей главе.) Назовем оператор, который задается с помощью алго­ ритма, реализующего некоторый набор правил, имитатором. При­ меры построения агрегата-имитатора приведены в гл. 7.

Отдельно при агрегировании рассматривается ситуация, когда все параметры, описывающие поведение элементов системы, явля­ ются случайными величинами. В этом случае вводится понятие аг- регата-статистика, определяющего отношения на множестве слу­

чайных параметров системы. Для его построения используются фун­ кции выборочных значений случайных величин, в качестве кото­ рых широко используются функции распределения вероятностей или плотности распределения вероятностей случайных событий [28].

На практике используются достаточные и оптимальные стати­ стики. Достаточными статистиками называются такие агрегаты, ко­ торые извлекают всю полезную информацию об интересующем нас параметре из совокупности наблюдений. Например, для систем, результат деятельности которых нас интересует только в среднем, достаточным статистиком может служить математическое ожида­ ние выходной случайной величины. Однако на практике достаточ­ ные статистики применяются редко, так как при таком агрегиро­ вании потери информации неизбежны. Чаще применяются опти­ мальные статистики —такие агрегаты, которые позволяют свести потери информации к минимуму. Например, математическое ожи­ дание и дисперсия случайной величины в совокупности являются оптимальным статистиком для многих технических систем. Более подробно способы описания случайных величин при моделирова­ нии будут рассмотрены в гл. 5.

Последним из рассматриваемых видов агрегатов, но не после­ дним по частоте применения при структурном моделировании яв­ ляется структура системы, т.е. агрегат, устанавливающий типы свя­ зей между отдельными элементами системы. Наиболее широко по­ добный вид агрегирования применяется при моделировании технических, информационных и организационных систем. Напри­ мер, в материаловедении в качестве структуры материала исполь­ зуются разные модели кристаллических решеток, устанавливающие типы связи между атомами и симметрийные свойства кристалла. В информационных системах применяется структура в виде первич­ ной сети, указывающей направление и интенсивность передачи ин­ формации. В организационных системах структура описывает иерархию в процессе принятия решений и распределение власти и ответственности (ответственность за принятые решения).

После рассмотрения основных подходов к построению струк­ турных моделей перейдем к примерам, иллюстрирующим эффек­ тивность этих подходов при моделировании различных систем и процессов.

6Введение в математическое моделирование