6.17.О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ

мира. Эту мысль в 1623 г. сформулировал Галилео Галилей: «Фи­ лософия природы написана в величайшей книге —я разумею Все­ ленную, —которая всегда открыта перед нашими глазами, но по­ нять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики, и письмена ее —треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без коих нельзя понять по-человечески их слова; без них тщетное кружение в темном лабиринте».

Потребовалось еще 350 лет, прежде чем естествознание обре­ ло качественно новый язык фрактальной геометрии. Вот что об этом пишет первооткрыватель фрактальной геометрии Бенуа Ман­ дельброт: «Почему геометрию называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму обла­ ка, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы — это не конусы, линии берега —это не окружности, и кора не яв­ ляется гладкой, и молния не распространяется по прямой.... При­ рода демонстрирует нам не просто более высокую степень, а со­ всем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно.

Существование этих структур бросает нам вызов в виде труд­ ной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бес­ форменные, —задачи исследования морфологии аморфного. Ма­ тематики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, кото­ рые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или по­ чувствовать».

Широчайшее распространение фрактальных структур объясня­ ется их разномасштабностью и самоподобием: и большие, и малые масштабы фрактальных структур имеют одинаковый закон постро­ ения. Форма фрактальной структуры, разглядываемая в микроскоп с любым увеличением, видится одной и той же. Это геометричес­ кое подобие и есть основной принцип роста всего живого, кото­ рый называют также иерархическим принципом организации (за­ коны ветвления самой тонкой веточки дерева абсолютно те же, что и для всех его ветвей, и для всего ствола в целом).

Задать фрактальную структуру —значит задать не застывшую, неизменную форму, а принцип роста, закон изменения формы. Как правило, алгоритм построения формы гораздо проще, чем полученная с его помощью форма. Фрактал дает компактный спо­ соб описания самых замысловатых форм. Итак, «фрактал не есть конечная форма (фрактал никто никогда не видел, так же как

число л), а есть закон построения этой формы. Фраадал аккуму­ лирует в себе идею роста» [22].

Осознание этой идеи привело к тому, что понятие фрактала стало широко использоваться в научных исследованиях, и было обнаружено большое число задач, в которых фрактальная структура и размерность служат основными характеристиками системы. На­ пример, в турбулентности теория фракталов теснейшем образом связана с теорией масштабной инвариантности Колмогорова. Ско­ рость турбулентного потока (как функция пространственных пе­ ременных и времени) —фрактал, аналогичный броуновской кри­ вой, только с иными локальными свойствами.

Е. Федер в основу своей книги [109] положил исследование явлений, имеющих место при вытеснений нефти водой в порис­ той среде; эти явления приводят к тому, что нефть оказывается запертой в водяных ловушках, что ведет К ее потерям. Если вяз­ кость вытесняемой жидкости больше вязкости вытесняющей, то фронт вытеснения неустойчив и образуются так называемые «вяз­ кие пальцы», имеющие фрактальную структуру.

На рис. 6.28 представлена фрактальная кривая, являющаяся графиком так называемой функции Вейерштрасса. Эта функция непрерывна, всюду не дифференцируемая (каждая точка этой пря­ мой —точка излома, производная в которой не существует). Она задается бесконечной суммой тригонометрических функций

W(x)= £ апcos(bn%x), а< 1, b>\, ab>l,

Л=1

обладает сложной изломанной структурой и является самоподоб­ ной: форма функции остается неизменной при растяжении в b раз вдоль оси абсцисс и в 1/д раз вдоль оси ординат. На рис. 6.28,а показана функция Вейерштрасса при а = 0,5 и 6 = 4 и три пос­ ледовательных увеличения ее центральной части (рис. 6.2%,б,в,г). Можно видеть, что заключенные в прямоугольник части функции являются точными копиями предыдущего целого, т.е. функция Вейерштрасса является самоподобной. Впервые подобные функции появились в XIX веке, однако они были отвергнуты математика­ ми как «некрасивые». Их не только не хотели изучать —о них не хотели даже говорить. В самом деле, если любая сколь угодно ма­ лая часть функции Вейерштрасса повторяет всю функцию в целом, то чему же равна длина ее графика? Очевидно, бесконечности. Воп­ рос о длине фрактальной линии остался в XIX веке без ответа.

Еще раз столкнулись с подобной проблемой во второй поло­ вине XX века при измерении длины береговой линии Англии. Эта задача была поручена известному английскому физику Л. Ричард­ сону. Для ее решения Ричардсон на карте заменил истинную бе­ реговую линию замкнутой ломанной, составленной из отрезков прямой длины S, вершины которой располагались на побережье. Длина ломанной 1(8) принималась за приближенное значение дли­ ны береговой линии, соответствующее выбранному 8. Далее, пе­ реходя к пределу при 8 -»0, ожидали получить истинное значение длины побережья. Из математики известно, что предел длины ломанной при 8 0 для непрерывно дифференцируемой на отрез­ ке [а, Ъ] функции / (JC) не зависит ни от длины элемента ломан­ ной 8, ни от способа построения ломанной и равен длине L гра­ фика функции f{x), вычисляемой по формуле

ь

L = J7l + f'(x)dx.

а

Однако береговая линия Англии, в отличие от линий, описы­ ваемых гладкими функциями, оказалась настолько изрезанной вплоть до самых малых масштабов карты, что с уменьшением зве­ ньев 8 длина ломанной Д8) не стремится к конечному пределу, а становится бесконечно большой. Ричардсону удалось установить характер стремления Щ>) к бесконечности, который выражался степеннбй функцией:

L(S) =C8l-D,

где С = const >0 и D = const > 1.

Для побережья Англии D =1,24, поэтому Ь(Ъ) =С / 80,24, и ясно, что L(8) -> 0 при 8 -»0. Для других береговых линий полу­ чались другие значения D (1< D<2), причем чем более изрезанной была линия, тем большие значения D соответствовали ей (напри­ мер, для Норвегии Z)= l,5).

Примером более упорядоченной фрактальной кривой может служить фрактал, открытый в 1904 г. немецким математиком Хельгой фон Кох. Алгоритм построения его очень прост: рассматрива­ ется равносторонний треугольник со сторонами единичной длины; каждый прямолинейный элемент делится на три части, на сред­ ней части строится меньший равносторонний треугольник и его основание отбрасывается. Предфракталы —фигуры, полученные за четыре первых шага, изображены на рис. 6.29.

На шаге я: всего Щ8п) = 3-4" звеньев длиной 8Л= (1/3)", тог­

да я = -1п8/1пЗ, длина кривой

« 5 )= 3 4 W =3 e x p { - in i^ i^ } .3 e x p { - ^ |ln |} =

= Зехр- 1{ in 5 (b i4 - L n 3) / l n 3 j = g l -D t

где .D = In 4/ln 3 = 1,2628 > 1.

При я -» «>, 8 -> 0, следовательно, длина кривой стремится к

бесконечности. Множество точек, полученное как предел беско­ нечного числа итераций процедуры Кох, не являются кривой, для которой длина —удобная мера. Это уже не линия —«длина без ши­ рины», а нечто большее, некая «толстая линия».

Термин фрактал (от лат. fractus —изломанный, дробный) ввел в употребление в 1975 г. американский математик Б. Мандельб­ рот, сотрудник исследовательского центра имени Томаса Дж. Уот­ сона корпорации IBM. Фракталами Мандельброт назвал структу­ ры, обладающие двумя признаками: изломанностью и самоподоби­ ем (любая часть структуры подобна всему целому). Самоподобный понимается не только в классическом смысле как «линейно уве­ личенный или уменьшенный», но и в смысле «похожий». Кроме того, эти структуры характеризуются параметром, называемым фрактальной размерностью. В чем смысл этой размерности?

Прежде чем перейти к определению фрактальной размернос­ ти, сначала обобщим понятие меры множества. Рассмотрим уже знакомые понятия длины, площади и объема, которые являются мерами линии, поверхности и пространственного тела соответ­ ственно. Линия, поверхность, тело —некоторые множества точек в евклидовом пространстве.

Для того чтобы измерить «величину» множества 3 точек в пространстве, покроем множество 3 , например, пробными фун­ кциями с характерным размером б (в качестве такой функции можно выбрать, например, сферу диаметра 8 или куб с ребром 8). Центр сферы поместим в какую-нибудь точку множества 3 , тог­ да все точки, находящиеся от центра сферы на расстоянии г< 8/2, окажутся покрытыми этой сферой. Посчитаем число сфер N(8), не­ обходимое для покрытия множества точек 3 , —получим в преде­ ле при 8->0 меру величины множества. Так, покрывая кривую отрезками длины 8, определим ее длину:

Д8) = / У ( 8 ) . б _ _ ^ .

В пределе мера L асимптотически равна длине кривой и не зависит от б. Если же попытаться вычислить площадь кривой, при этом покрывать ее кругами диаметра 8 (или квадратами со сторо­ ной б), то найдем, с учетом предыдущей формулы, что она зави­

сит от б и в пределе при 8->0 обращается в ноль:

Л = а д 5 2 _ _ ^ 5_ _ * (,

Точно также в ноль обратится и объем кривой:

г -» -

Еще раз подчеркнем, что для обычных кривых при 5 -> 0 пло­ щадь и объем стремятся к нулю, т.е. подходящей мерой для кри­ вой является ее длина.

Чтобы вычислить площадь поверхности, покроем ее кругами диаметра б (или квадратами со стороной 8), тогда

В пределе мера А при 8 -»0 равна площади поверхности и не зависит от 8. Если попытаться вычислить длину поверхности, по­ крывая ее отрезками длины 8, то с учетом предыдущего соотно­ шения получим

L = N m ^ - ^ A 0b - ' ^ - ^ ~ ,

т.е. длина поверхности будет стремиться к бесконечности. Анало­ гично можно показать, что объем поверхности будет стремиться к нулю. Таким образом, только площадь является подходящей мерой для поверхности.

Объем тела можно получить в пределе при 8 -»0, покрывая его сферами диаметра 8:

V =ЛДб)б3 ■ 5-Л )fo-

Очевидно, что площадь и длина тела в пределе 8 -> 0 будут стремиться к бесконечности, т.е. подходящей мерой для тела яв­ ляется объем (а не длина и площадь).

Однако не для любого множества точек в пространстве мож­ но указанным способом определить меру. Существуют, например, кривые Пеано, изогнутые настолько, что заполняют плоскость. Для их измерения необходимо обобщить понятие меры множества.

До сих пор в качестве пробной функции выбирались отрезок, круг, сфера (или квадрат, куб), т.е. функции вида h(8) = y(d)8rf, и

Ш

покрывали множество 3, образуя меру Md = £ А(8). Заметим,

П=1

что для отрезка, квадрата, куба - y(d) = 1, для круга у(d) =л/4, для сферы y(d) = n/6

В общем случае при 8 -»О мера Md обращается в 0 или °° в зависимости от выбора величины d —размерности Пробной фун­ кции:

Величину Md назовем —d-мерой множества 3 .

Теперь можно ввести понятие размерности Хаусдорфа —Бези- ковича, которое играет ключевую роль в определении фрактала и фрактальной размерности.

Итак, размерность Хаусдорфа—Безиковича —D множества 3 — это такая критическая размерность, при которой мера Md изменя­ ет свое значение от 0 до °°.

Вэтом определении важно отметить следующее:

1.При d = D величина Md может быть конечной, но может

быть и 0 или . Важно, что именно при d = D мера Md меняется скачком.

2.Приведенное определение размерности —локальное свой­ ство в том смысле, что эта размерность характеризует свойства множества в точке в пределе при исчезающе малом 5, следователь­ но, фрактальная размерность Хаусдорфа—Безиковича есть локаль­ ная характеристика множества.

3.Если множество покрывается шарами неодинакового разме­ ра, но диаметры их всех меньше некоторого 8, то d-мера - это нижняя граница, т.е. минимальное значение, получаемое при всех возможных покрытиях.

Вернемся к примеру со звездой Кох. Рассматривая ее периметр как одномерную линию, видим, что его длина стремиться к бес­ конечности:

L = 35l~D при 5->0, Z> = ln4/ln3.

Таким образом, конечную длину можно получить только в случае, если d = D= In 4/ln 3 > 1. Значит, размерность звезды Кох не целое число d = 1, а дробная величина d = D = In 4/1п 3 > 1. Итак, фрактал имеет дробную размерность.

С учетом введенной размерности можно привести еще одно определение фрактала, данное Мандельбротом: фрактал —некото­ рое множество, размерность Хаусдорфа—Безиковича которого стро­ го больше топологической размерности.

Триадное канторово множество. Алгоритм построения канторова множества таков: отрезок единичной длины (затравка) делит­ ся на три равные части, средняя часть отбрасывается, остаются два отрезка длиной 1/3 каждый; далее каждый из оставшихся отрезков вновь делится на три части и средние части отбрасываются; остав­ шиеся четыре отрезка имеют длину 1/9 каждый. И так далее. Два первых шага построения множества изображены на рис. 6.30. На и-м шаге множество состоит из N= 2" отрезков длиной

/,.=(1/3)", / = 1, 2,...,JV. Процедура построения повторяется беско­

нечное число раз. В результате имеем множество точек, называе­ мых канторовой пылью.

п = 0, затравка

п = 1, образующий элемент

п = 2

О ”

1/9

Рис. 6.30.Триадное канторово множество

Чтобы определить размерность канторового множества, покро­ ем его отрезками длиной 8 = /,•, при этом окажутся покрытыми все точки множества. Тогда rf-мера

N

Md = = N (№ d = 2"(l/3)"rf = bd~D ;=i

Она расходится и стремится к бесконечности при 8 -»0, если только d< D =1п2/1пЗ. Топологическая размерность множества d = 0, так как d < D, то канторово множество является фракталом.

Пусть отрезки в образующем элементе множества неравны, например /j =1/4, /2 =2/5. Вычислим для этого случая фракталь­ ную длину и размерность. На и-м шаге число отрезков N —2", са­ мый короткий отрезок имеет длину /f = (1/4)", а самый длинный —

/2" =(2/5)"

На л-м шаге

/, =1/4, /2 =2/5

Ковер Серпинского. Алгоритм построения «ковра Серпинского» следующий: единичный квадрат делят на девять равных квадратов, длина стороны которых равна 1/3, средний квадрат удаляют, а оставшиеся восемь опять делят на девять равных квадратов, сред­ ние части вновь удаляют. Построение фрактала на пяти первых шагах показаны на рис. 6.31.

Рис. 6.31. Построение фрактала «ковер Серпинского»

Процедура повторяется бесконечное число раз. По аналогии с предыдущими примерами размерность полученного фрактала D = = 1п8/1пЗ.

Салфетка Серпинского. Для того чтобы построить фрактал, называемый «салфеткой Серпинского» берется правильный треу­ гольник со стороной единичной длины, затем соединяются сере­ дины его сторон, при этом исходный треугольник получается раз­ деленным на четыре меньших правильных треугольника со сторо­ нами, равными 1/2. Далее отбрасывается средний треугольник, а оставшиеся три вновь делятся на четыре равных треугольника со сторонами по 1/4. Алгоритм повторяется бесконечное число раз. На рис. 6.32 приведены первые пять шагов построения фрактала.

Несложно показать, что фрактальная размерность «салфетки Серпинского» D = 1пЗ/1п2.