2814

6.Закономерности механического поведения композитов, связанные с закритическим деформированием

Методы прогнозирования эффективных упругих свойств современ­ ных композитов достаточно хорошо разработаны. Достигнутые в линейной теории упругости результаты по прогнозированию эффективных свойств и сопутствующие им результаты по определению полей микронапряжений и микродеформаций являются хорошей базой для исследования упругопла­ стических и прочностных свойств микронеоднородных материалов. Стрем­ ление к более полному использованию несущей способности ответствен­ ных конструкций неизбежно приводит к необходимости построения ком­ плексных моделей деформирования и разрушения реальных материалов при сложном напряженном состоянии и нелинейных свойствах элементов структуры.

Учебное пособие посвящено изложению и анализу условий устойчи­ вости закритического деформирования элементов структуры гранулиро­ ванных, слоистых и волокнистых композитов, а также изучению законо­ мерностей развития зон пластичности, разупрочнения и разрушения в мат­ рицах волокнистых композитов периодической структуры. Приведенные условия устойчивости устанавливают ограничения на соотношение харак­ теристик жесткости и параметров ниспадающей ветви полной диаграммы деформирования элементов структуры в зависимости от их объемной доли и жесткости нагружающей системы.

Для слоисто-волокнистых композитов выведены аналитические зави­ симости, позволяющие определить допустимый диапазон углов армирова­ ния. Обеспечение подобных условий связано с равновесным протеканиегМ процесса накопления повреждений в элементах композитов и рассматрива­ ется как возможность повышения прочности и живучести материалов и конструкций.

Результаты проиллюстрированы расчетами для углепластиков, стек­ лопластиков и боралюминия. Приведены полученные на основе численно­ го решения физически нелинейных краевых задач механики закритическо­ го деформирования поля микронапряжений и микродеформаций для ячей­ ки периодичности на разных стадиях процесса нагружения, вплоть до раз­ рушения композита.

1. О теории устойчивой закритической деформации разупрочняющихся сред

Деформируемые тела, подверженные деструкции различной приро­ ды, при механическом воздействии в ряде случаев обнаруживают свойство разупрочнения, проявляющееся в наличии ниспадающего участка графика зависимости силовых факторов от кинематических. Указанное явление имеет место на закритической стадии деформирования структурнонеоднородных сред, в частности, горных пород и композитов. Деформиро­ вание данного рода может быть осуществлено лишь для локального объек­ та в составе механической системы с необходимыми свойствами. В про­ тивном случае происходит неравновесное накопление повреждений и мак­ роразрушение. Таким образом, состояние материала, соответствующее ниспадающей ветви диаграммы деформирования, можно назвать условно реализуемым. Пусть тело из некоторого деформированного состояния пе­ решло в другое, бесконечно близкое. Признаком того, что переход сопро­ вождался закритическими деформациями, будем считать выполнение нера­ венств:

Необратимая часть деформации dz?j определяется постулатом пла­

стичности А.А. Ильюшина [11]. Поведение разупрочняющихся сред таково, что в рамках указанного постулата закритическая деформация не отличает­ ся от пластической. В связи с этим, неравенство (1) может рассматриваться как дополнительный по отношению к постулату пластичности признак за­ критической деформации.

Приняв концепцию существования предельных поверхностей: нагру­ жения / в пространстве напряжений и деформирования F в пространстве деформаций, а также принцип максимума скорости диссипации Мизеса [10], в независимости от факта разупрочнения материала придём к тради­ ционным положениям теории пластичности о выпуклости указанных по­ верхностей и справедливости принципа градиентальности. Особенность же механического поведения материалов на стадии разупрочнения заключает­ ся в том, что точки нагружения и деформирования, сохраняя принадлеж­ ность предельным поверхностям, смещаются внутрь их первоначальных конфигураций:

Параметры х, отражают историю нагружения. При изотропном ра­ зупрочнении материала изменение формы предельных поверхностей пред- 5

ставляется подобным тому, как сдувается воздушный шар. Кроме того,

возникает и трансляция всей поверхности деформирования на вектор d sp [34].

Вкачестве условия активного нагружения может быть принято усло­ вие положительности диссипации c tJdEjj > О

Вобщем случае анизотропии механических свойств дифференциаль­ ные тензорно линейные определяющие соотношения представляются в ви­

де

dv.j = С,утп (Лп) jip .X/ • x)demn,

где ЛЛ и ЛЛ инварианты тензоров е и гр , % — единичный индикатор,

равный нулю при разгрузке и нагружении до предела упругости. Используя тензорную функцию повреждаемости четвёртого ранга Q [32] и соответст­ вующий единичный тензор /, запишем

do,] —Cjjmn {lmnpq —X^mnpq pq '

Компоненты тензора Q определяются независимыми величинами Qa , которые при задании их с помощью функционалов

О

где t — параметр процесса, описывают влияние истории нагружения на по­ ведение материала и играют роль параметров х,

Исследование процессов закритической деформации требует введе­ ния понятия нагружающей системы [37], как совокупности элементов, де­ формирующихся в результате передачи нагрузки рассматриваемым телу или области. Влияние нагружающей системы может быть учтено путём включения характеризующего оператора влияния [12] последней в гранич­ ные условия для исследуемого деформируемого тела. Например, если на границе Z области Q номинально, то есть без учёта её сопротивления внешней нагрузке, заданы перемещения и° а в качестве нагружающей

системы выступает деформируемое тело Q ', контактирующее с исследуе­ мой областью Q по границе I , то действительные перемещения для лю­ бой точки с радиусом-вектором г' € I

и, (г') = и°(г') - j Gtj (г', г)Sj (г)dZ, I

где G(r'. г) — тензор Грина для области П ', S — вектор сил.

Аналогично записываются условия на границе при номинальном, то есть без учёта деформации области Q, задании внешних усилий S°:

S/(r') = 5° (г') - J^ ( r ' (r)a; ( r № .

i

Построение тензоров G (r',r) и N (r'fr) представляет собой специ­ альную задачу, которая в случае дискретного представления эквивалентна задаче нахождения матрицы влияния А.А.Ильюшина или обратной ей.

Представим связь величин S°(r) и и,0(г) в тензорно линейной запи­

си:

0 ;y(r,S°j при заданных во всех точках границы значениях н,°(г) или S°(r)

Это позволяет перейти к граничным условиям контактного типа:

Ы гМ г)+лу(гЬ(г)]Е=5/(г)>

Данное представление граничных условий позволяет снять противо­ речие, связанное с наблюдаемостью закритической стадии деформирова­ ния в экспериментах и определением Друккера [8], согласно которому ма­ териал на стадии разупрочнения, рассматриваемый в отрыве от окружаю­ щей его среды, классифицируется как неустойчивый. Сформулируем рас­ ширенный постулат устойчивости следующим образом.

В процессе нагружения суммарная работа дополнительных усилий, связанная с деформированием твёрдого тела и нагружающей системы, яв­ ляется положительной, а в случае полного цикла нагружения и разгрузки

— неотрицательной. Первая часть постулата устойчивости в малом при на­ личии объёмных сил F выражается неравенством

j(55,+ Rjjbu^bujdL + JbFfiu.dQ. > 0.

Согласно сформулированным принципам,

w* > w > w

где

W = jQ ds° - dS,)du°dL = J[du, - ^ du{j dS°dZ,

что создает условия для получения верхней и нижней границ в приближен­ ном решении краевых задач.

В рамках рассмотрения статически либо кинематически допустимых полей, отличающихся бесконечно мало от действительного,

do*j = datj +8 {d^ij) либо dzy = dz{j +5(fife/,),

функционалы W* и W принимают экстремальные значения при выполне­ нии условий их стационарности по отношению к вариациям 5(rfc,y), удов­ летворяющим уравнениям равновесия, либо 5(dSy), удовлетворяющим со­ отношениям Коши. В этом случае уравнения

J S{eby)dBvd a - j 6 ( А ) И - QydSjjdZ = О,

ОI

J d o ^ d e ^ d Q - 1 5 ( < Ц ж ; - R gdujfa = О

Q I

выражают модифицированные вариационные принципы для упругопласти­ ческих тел с возможными зонами разупрочнения и граничными условиями контактного типа.

В рамках данного подхода потеря несущей способности моделирует­ ся без использования критериев разрушения как результат потери устойчи­ вости процесса деформирования материала на закритической стадии.

2. Модели разупрочняющихся сред

Для построения адекватных моделей поведения материалов на закритической стадии деформирования необходимо проведение экспериментов на испытательных машинах достаточной жесткости, реализующих в образ­ цах разнообразные напряженные состояния среды. Осуществление такого рода опытов связано с техническими трудностями, и имеющиеся данные, обычно, относятся лишь к поведению материала при одноосном растяже­ нии, чистом сдвиге и гидростатическом сжатии. На основе этих базовых экспериментов и результатов математического моделирования могут быть построены варианты моделей сред с разупрочнением при разгрузке и ак­ тивном нагружении.

Различные предположения или представления о поведении материа­ ла при разгрузке приводят к следующей классификации моделей сред по этому признаку [7]. Рассмотрим идеализированные кривые напряжения — деформации, приведенные на рис. 1. Здесь и далее координаты о - г рас­ сматриваются как обобщенные, под которыми подразумеваются либо ком­ поненты тензоров напряжений и деформаций, либо их инварианты. На рис. 1, а поведение материала характеризуется нелинейной зависимостью, од­ нако, при разгрузке все пути деформаций ведут в начало координат, и ос­ таточные деформации после разгрузки отсутствуют. Такой материал и его поведение будем называть упругохрупким.

На рис. 1, б показано другое идеализированное поведение, известное под названием упругопластического. Наконец, на рис. 1, в представлено сочетание упругохрупкого и упругопластического поведений. Помимо не­ обратимых деформаций, здесь имеется также изменение модуля упругости в процессе их возникновения. Хрупко-упругопластическая модель, отра­ женная на рис. 1, в, наиболее адекватно моделирует поведение, в частно­ сти, скальных пород под действием одноосного сжатия и растяжения. При рассмотрении указанных моделей не учитывались небольшие гистерезис­ ные явления, возникающие в ходе нагружения и разгрузки.

При повторном нагружении максимально достижимым для материа­ ла напряжением, то есть пределом прочности, становится напряжение, со­ ответствующее началу разгрузки (см. рис. 1, г). Естественно, что каждая точка на ниспадающей ветви может стать точкой начала разгрузки и соот­ ветствовать в этом случае пределу прочности при повторном нагружении. Следовательно, ниспадающая ветвь диаграммы напряжение — деформация является геометрическим местом пределов прочности материала с различ­ ной степенью накопленных повреждений его структуры. Этот факт был отмечен автором работы [5].

Таким образом, диаграмма деформирования на закритической стадии определяет закон, по которому изменяется предел прочности при данной схеме нагружения в зависимости от степени повреждения материала. Из