2814

этих рассуждений следует также, что использование термина “разупрочнение” по отношению к процессам на закритической стадии де­ формирования является физически оправданным.

Рис. 1. Модели поведения сред при разгрузке и повторной нагрузке

С учетом характерных особенностей поведения материалов рассмот­ рим приведенные на рис. 2 схематические изображения полных диаграмм деформирования и один из вариантов классификации сред по характеру ра­ зупрочнения.

Вобщем случае полная диаграмма деформирования имеет сложный нелинейный характер. Однако часто она может быть аппроксимирована кусочно-линейной функцией. На рис. 2 приведены диаграммы упругой (а)

иупругопластической (б) сред с линейным разупрочнением на закритиче­ ской стадии деформирования.

Взависимости от того, увеличивается или уменьшается интенсив­ ность разупрочнения при увеличении закритической деформации, можно ввести понятия среды с прогрессирующим разупрочнением (см. рис. 2, в, г)

исреды с регрессирующим разупрочнением (см. рис. 2, д, е). К первой ка­ тегории, в частности, отнесем легированную сталь при одноосном нагру­ жении [42] и циркониевую керамику [46], ко второй — легированную сталь при чистом сдвиге [42], титановый сплав ВТ5 при высоких температурах [30], наполненный полиэтилен высокой плотности [6], композит, получен­ ный армированием вольфрамовыми волокнами медной матрицы [17] и не­ которые перекрестно армированные слоисто-волокнистые материалы [45].

Кроме того, можно выделить категорию сред с неполным разупроч­ нением (см. рис. 2, з), заключительная стадия деформирования которых ха­ рактеризуется наличием практически не изменяющейся остаточной проч-

ности. К этой категории сред в большей степени относятся горные породы в условиях одноосного сжатия [5] и простого сдвига под действием каса­ тельного напряжения и давления [39].

Рис. 2. Модели разупрочняющихся сред

Сложный характер разупрочнения связан с протеканием на разных структурных уровнях диссипативных процессов различной природы, а смена механизмов накопления повреждений приводит к изменению харак­ тера снижения напряжений на закритической стадии деформирования. При этом, в ряде случаев наличие практически прямолинейных участков на диаграмме является очевидным. Например, на рис. 2, ж приведена харак­ терная аппроксимация диаграммы растяжения мартенситно-стареющей стали [19], являющаяся иллюстрацией механического поведения среды с линейными участками разупрочнения по сменным механизмам.

Обратим внимание на то, что поведение некоторых материалов на закритической стадии деформирования может быть гораздо более слож­ ным. Экспериментально зарегистрированы диаграммы деформирования с обратной крутизной ниспадающего участка. На подобного рода диаграм­ мах кроме обычного ниспадающего участка, где падение напряжений со­

на, полученная в результате проведения испытаний на одноосное растяже­ ние и сжатие [7]. Особая точка 2-го рода на диаграмме в процессе сжатия достигается прежде прочих. При сжатии объем уменьшается лишь при на­ чальных деформациях, а затем он начинает возрастать, что связано с нако­ плением повреждений в материале. Аналогичный эффект смены знака объ­ емной деформации в процессе сжатия был обнаружен и для перекрестноармированных стеклопластиков [22, 26].

Таким образом, поведение материалов таково, что при растяжении существует предел для средних напряжений, а при сжатии — для объем­ ных деформаций.

При решении краевых задач используются несколько различающиеся модели разупрочняюшихся сред, в частности, допускается кусочно­ линейная (с линейным разупрочнением) связь между девиаторными со­ ставляющими напряжений и деформаций, а объемное растяжение считает­ ся упругим [9]. Принимается нелинейный пластический закон скольжения в области контакта упругих частиц, включающий стадию разупрочнения от сдвига и участок остаточной прочности [18]. Считается приемлемой для решения задач горной геомеханики кусочно-линейная аппроксимация диа­ грамм, полученных при одноосном сжатии и различных боковых давлени­ ях, с учетом разрыхления материала и остаточной прочности после разу­ прочнения [25, 36]. Используется модель, учитывающая смену механизмов повреждения: разупрочнение с отрицательным мгновенным значением мо­ дуля сдвига и начальным положительным модулем объемного сжатия при отрицательной объемной деформации и разупрочнение с отрицательным модулем Юнга и начальным коэффициентом Пуассона при положительном значении объемной деформации [34].

При построении моделей разупрочняюшихся сред важным является вопрос определения критических состояний, то есть условий начала разу­ прочнения. По данным компьютерного моделирования деформации квазиизотропных зернистых композитов приемлемой является модель, соглас­ но которой закритическая стадия деформирования начинается, когда вто­

рой инвариант тензора напряжений достигает критического значения j ^ ,

являющегося константой материала. При этом на закритической стадии

критического деформирования.

Согласно этой модели переход на закритическую стадию по 1-му и 2- му инвариантам происходит одновременно при условии j ^ = j^ ]T, крити­ ческое значение первого инварианта тензора напряжений не является константой материала, а определяется как / а1)ст= / с1)(/02) = j {2)a ). Потеря не­

сущей способности происходит также одновременно, когда достигает

своего предельного значения A f : А / = А^(А2) = А/*)-

Учет разупрочнения при гидростатическом растяжении даже в рам­ ках наиболее простых моделей необходим, чтобы избежать противоречия. Материал, разрушенный от сдвига или формоизменения после полной реа­

лизации закритической стадии ( j[2^ = A j \ = 0), не может сопротив­

ляться гидростатическому растяжению.

При рассмотрении изотропных материалов одной из упрощающих гипотез является предположение об отсутствии деформационной анизо­ тропии. В соответствии с этим предположением определяющие соотноше­

Входящие в подобные уравнениям деформационной теории соотно­ шения (5) модули разупрочнения - К' и - G' в простейшем варианте оп­ ределяются следующим образом: К 1= -ХК, G' = -XG , где X — параметр разупрочнения, К и G — модули упругости. Очевидно, что этот же пара­ метр определяет модуль разупрочнения при одноосном нагружении.

Ограниченность модели, связанная с постоянством коэффициента Пуассона, преодолевается введением двух независимых параметров разу­ прочнения X и |i : Gf = -AJG, К' = —JLIAT

В этом случае на параметры разупрочнения накладываются ограни­ чения, обусловленные пределами изменения текущего коэффициента Пу­ ассона, определяемого как отношение приращений деформаций. При из­ менении его в диапазоне от 0 до 0,5 должны иметь место неравенства

<3.

3iiK +XG

Если установить, что процесс деформации на закритической стадии сопровождается уменьшением средних напряжений при увеличении отно­ сительного изменения объема (d c ^ < 0, d z^ > 0), то рассмотренные со­ отношения позволят описать наблюдаемое при испытаниях реальных мате­ риалов разупрочнение при гидростатическом растяжении и упрочнение при сжатии.

Упрощенной моделью разупрочняющейся трансверсально­ изотропной среды, в частности, слоистого композита с изотропными слоя­ ми является модель, описываемая определяющими соотношениями вида

^(<fc [, + da 22) = K dz\i+dE22)+l'dE^, dar, = l'{dzn +dz22) - n pdsr,.

^(dan - d a 22) = G1(dzn - d e 22),

dol2 = 2GLdzn ,

dcttf ~ -G £dsl3, d(j13= -2G^dz13

при значениях инвариантов j ^ = e33 > j ^ T или = V^i3 + 8 23 > Уест» что соответствует ослаблению межслойного взаимодействия. А также вида

стадии деформирования.

Эффект поперечного взаимодействия на закритической стадии суще­ ственно ослабляется, и в рамках простейшей модели им можно пренебречь, положив /' = 0. Однако при построении более адекватных моделей целесо­ образно уточнить значение коэффициента /', которое может быть даже от­ рицательным.

При исследовании трансверсально-изотропных волокнистых компо­ зитов модели несколько отличаются от рассмотренной. В частности, закритическая стадия деформирования, вызванная продольным сдвигом

(у|4^ >УесгХ может сопровождаться разупрочнением не в направлении х3, а в направлениях х{ и х2.

К построению модели ортотропной разупрочняющейся среды

Упрощенная модель ортотропной разупрочняющейся среды описы­ вается определяющими соотношениями

при значениях касательных модулей и коэффициентов поперечной дефор­ мации, зависящих от условия закритической деформации и приведенных в таблице 1. Индексом “р ” отмечены положительные модули разупрочнения, знак “минус” учтен в определяющих соотношениях. Помеченные штрихом коэффициенты являются отрицательными и находятся по формулам

вании [42 и др.]. При одноосном сжатии (имеются данные о развитии про­ дольных и поперечных деформаций) некоторых горных пород реализуются такие состояния, для которых касательные модули Е < 0, G <0, К > О и v > 1 [33].

Данное противоречие и возможность устойчивого закритического деформирования, которое обнаруживается в упомянутых опытах, может быть объяснено [14] наличием определенной структурной неоднородности испытанных материалов, препятствующей потере устойчивости локализационного типа. Локализация деформаций находится на грани континуаль­ ного описания [23]. Описание механических процессов в масштабах, соиз­ меримых с размерами элементов структуры, требует отказа от гипотезы однородности, модели среды с эффективными свойствами и перехода на структурный уровень рассмотрения.

Выполнение условия Адамара для линейно упругих тел свидетельст­ вует также о наличии вещественных значений скоростей распространения волн сдвига и сжатия-растяжения в данной среде [20], следовательно, по­ становка динамических задач при деформировании на стадии разупрочне­ ния в противном случае некорректна и лишена физического смысла. Если учесть, что любой реальный процесс осуществляется с некоторой, пусть малой, но конечной скоростью, не затрагивая структуры материала и усло­ вий проведения опытов, то в силу указанного противоречия модель одно­ родной разупрочняющейся среды, строго говоря, не является допустимой.

Однако в опытах на жестких испытательных машинах диаграммы хорошо воспроизводятся и изменяются сравнительно слабо при невысоких скоростях деформирования. Внешние проявления неустойчивости отсутст­ вуют при этом как на восходящем, так и ниспадающем участках диаграм­ мы. С любого этапа закритического деформирования можно осуществить разгрузку, образец не теряет связности [25 и др.]. Указанные скорости час­ то реализуются на практике, и соответствующие диаграммы полезны и важны для практических целей.

Таким образом, при скоростях, обеспечивающих равномерную де­ формацию образца и получение на жестком испытательном оборудовании диаграммы с ниспадающим участком, последний имеет смысл для стати­ ческих задач.