2814

лов при сложном напряженном состоянии и построении условий устойчи­ вости сопротивления элементов в состояниях, соответствующих точкам на ниспадающей ветви диаграммы. Рассмотрим далее вывод критериев устой­ чивости для элементов структуры некоторых гетерогенных сред.

Фундаментальные результаты по определению поля упругих напря­ жений внутри и вне эллипсоидального включения, помещенного в неогра­ ниченную однородную деформируемую матрицу, получены Дж. Эшелби [43]. Им показано, что в рассматриваемом случае поле напряжений внутри включения является однородным. Представляя результаты Дж. Эшелби та­ ким образом, чтобы установить связь между деформацией сферического включения (пометим индексом s) и однородной деформацией, характери­ зуемой тензором с компонентами г у, вдали от включения, после очевид­

ных преобразований получим

где R H G — модули объемного сжатия и сдвига матрицы; K s и Gs — ана­ логичные характеристики материала сферы. При выводе приведенных со­ отношений использовалось разложение тензора второго ранга на шаровую и девиаторную части: е = е # , г у = е,у - Уъе8,у.

Аналогично можно получить уравнения для нахождения напряжений во включении сферической формы, если известны напряжения а у, прило­

женные к матрице вдали от включения:

где ст = а**, О у= оу - у за8у.

Будем считать, что допустима кусочно-линейная аппроксимация диа­ граммы деформирования, а закритическое поведение материала при гидро­ статическом растяжении и сдвиге характеризуется соответственно модуля­ ми разупрочнения, или спада, DK и DG.

Рассмотрим случай, когда вследствие увеличения упругой деформа­ ции матрицы вдали от включения напряженное состояние сферы становит­ ся критическим. Приняв его за исходное, поставим в соответствие прира­ щению деформаций матрицы As приращение деформации включения As5 Для этого заменим в уравнении (9) модуль объемного сжатия мате­ риала сферы Ks на соответствующий модуль спада DSK со знаком минус

{D5K > 0). При этом условие Адамара, нарушение которого для однородных сред связано с локализационной формой потери устойчивости, выполняет­

ся, если DsK < y^G s (Gs >0). Из полученного соотношения с учетом того,

что величины A zs, Дв, G и К являются положительными, следует усло­ вие реализации ниспадающей ветви диаграммы о* ~ zs материала вклю­ чения:

Естественно, что требование устойчивости закритического деформи­ рования включения накладывает условие на жесткость окружающего его материала, однако, как показывает неравенство (11), удовлетворение этого требования не зависит от величины модуля объемного сжатия матрицы.

Проанализировав второе из уравнений (9) после замены в нем в* на

А Ц , ву на ДвtJ (полагая, что достигнуто критическое состояние материа­ ла включения и приняв его за исходное по отношению к дальнейшему де­ формированию), Gs на DSG со знаком минус (DQ >0) , получим необходи­ мое условие реализации закритического формоизменения материала вклю­ чения:

Следует отметить, что при выводе условия (12) было сделано пред­ положение о характере нагружения матрицы, которое представлялось как процесс, сопровождающийся увеличением всех компонент тензоров д и в Линейные зависимости (9) и (10) свидетельствуют о том, что в этом случае возможно лишь одновременное увеличение либо уменьшение ком­ понент как тензора а 5, так и тензора в5

В монографии [41] приведено несколько отличающееся по форме от использованного решение задачи о шаровом включении в матрице. Однако выведенные на его основе необходимые условия устойчивости

где v — коэффициент Пуассона упругой матрицы, как нетрудно убедить­ ся, эквивалентны (11) и (12).

4. Устойчивость закритического деформирования элементов структуры слоистых композитов

Рассмотрим композиционный материал, состоящий из периодически или случайно расположенных плоских изотропных слоев с отличающимися свойствами. Материалы, составленные из чередующихся плоских слоев, обладают неоднородностью лишь в направлении, перпендикулярном сло­ ям. Поэтому вычисление эффективных упругих констант сводится к одно­ мерной задаче, которую удается решить точно как для периодических ком­ позитов, так и для композиционных материалов со случайным расположе­ нием слоев. Произвольному, но макрооднородному (однородному для эк­ вивалентной среды с эффективными свойствами) напряженно-деформиро­ ванному состоянию слоистого тела соответствуют однородные поля на­ пряжений и деформаций в пределах структурных элементов.

Будем считать, что плоскосш слоев ортогональны оси х3 и на всех поверхностях раздела элементов структуры осуществляется идеальный контакт, то есть выполняются условия [[^]] = 0 и [[а,3]] = 0, где [[а]] оз­ начает величину скачка функции а при переходе из одного слоя в другой.

Уравнения равновесия содержат лишь по одному слагаемому, в ко­ тором дифференцирование проводится по переменной х3:

Поскольку вследствие макрооднородности напряженно-деформиро­ ванного состояния поля микронапряжений и микродеформаций однородны в пределах структурных элементов, то осреднение по объему, эквивалент­ ное для эргодических полей статистическому осреднению, может быть осуществлено с помощью объемных долей р ^ всех п компонентов:

<a) = ^ a (V ')

1=1

Геометрические соотношения, устанавливающие связь структурных деформаций и перемещений, имеют вид

где штрих означает пульсацию случайной величины, то есть ее отклонение от математического ожидания.

Как видим, зона 2 на рис 5 является предпочтительной с точки зре­ ния более полного использования прочностных ресурсов материала. Об­ ласти 4 соответствует внезапное и динамическое разрушение слоев.

G (2)/ D £2)

Рис, 5. Области устойчивости (1 и 2 соответствуют (21), 2 и 3 — (20)) и неустойчивости (зона 4) закритического деформирования слоев

Оценим влияние жесткости нагружающей системы на устойчивость закритического деформирования элементов структуры слоистых компози­ тов. Воспользуемся введенным в [4] тензором жесткости нагружающей системы V Рассмотрим элементарный макрообъем слоистого композици­ онного материала, мысленно абсолютно жестко зафиксировав его границы внутри деформируемого тела. Определенные перемещения границ тела приведут к появлению на границе элементарного объема напряжений

(ст]2). Освобождение границ элементарного объема приведет к его дефор­

мации и снижению напряжений до уровня

(а 12)= <а;2>-2К1212<е12>.

С другой стороны, если мысленно удалить элементарный объем ма­ териала из тела, затем перемещением границ тела добиться деформации

полости (г\3) и поместить в нее изъятый ранее и деформированный на ве­

личину 13) элементарный объем, то взаимодействие тела и рассматри­

ваемого объема приведет к снижению деформации последнего до уровня

Условие (25) при бесконечной жесткости системы нагружения упро­ щается и совпадает с (20), условие (26) совпадает с (21) в частном случае при Vm2 ~ 0.

Интерес представляет деформирование композиционного материала при снижающемся уровне макродеформаций (A(eJ3) < 0). В этом случае возможны упругая разгрузка слоев и композита в целом, а также закритическая деформация “первого” компонента ( Д е$ > 0) и упругая разгрузка “второго” ( Д е $ < 0), но при условии

(27)

Из двух возможных вариантов процесса осуществится более энерге­ тически выгодный, который приведет к максимальному снижению запаса упругой энергии в системе в результате наибольшего снижения напряже­ ний. Как следует из (22) и (26), упругая разгрузка слоев одного компонен­ та, сопровождаемая закритической деформацией слоев другого, энергети­ чески более выгодна при выполнении условия

D(J} > -G (l)

Поскольку истинность последнего неравенства очевидна для процес­ сов закритической деформации, сопровождающихся падением напряжений при прогрессирующих деформациях, то можно сделать следующий вывод. В случае уменьшения макродеформации (г°13) осуществляется закритическая деформация слоев при выполнении условия (27) и упругая разгрузка всех слоев в противном случае. То есть существует максимально допусти­ мая для закритической деформации слоев жесткость нагружающей систе­ мы, и только при

(28)

что соответствует реализации на макроуровне диаграммы деформирования с отрицательной крутизной ниспадающей ветви, закритическая деформа­ ция может осуществляться при любой положительной жесткости нагру­ жающей системы.

5.Полидисперсная модель композита

споврежденными разупрочняющимися волокнами

Проведем анализ возможности закритического деформирования во­ локон в композиционном материале в рамках принятой в механике компо­ зитов полидисперсной модели [15], для чего рассмотрим длинный состав­ ной цилиндр (рис. 6) в условиях одноосного нагружения при заданной де­ формации =г{2 - е™. Индекс / — соответствует волокну, т — матри­

це.

Для осесимметричного тела, как известно, справедливо уравнение

Рис. 6. Поврежденное волокно в упругой матрице согласно полидисперсной модели

Для внутреннего цилиндра (волокна) С2 = 0, поскольку в противном случае в центре волокна напряжения были бы неограниченны. Решение уравнения (29) при граничных условиях

Заключение об устойчивости процесса сделаем в результате анализа энергетического баланса при виртуальном приращении закритической де­ формации. Рассмотрим соотношение между расходуемой (сумма прираще­ ний энергии упругой деформации и работы разрушения) и подводимой (приращение работы внешних сил) энергиями при виртуальном прираще­ нии закритической деформации, вызванном мгновенно действующим воз­ мущением. При этом под работой разрушения понимается диссипация энергии, связанная с процессом накопления повреждений. Для элементар­ ного объема материала работа разрушения и увеличение потенциальной энергии упругого деформирования составляют удельную работу деформа­ ции. Приращение работы внешних сил связано с перемещениями точек границы деформируемого тела, обусловленными уменьшением его жестко­ сти в процессе разрушения.

Будем подразумевать, что механические свойства волокна на этой стадии деформирования характеризуются взятым со знаком “минус” моду­

лем спада при растяжении D{- и коэффициентом поперечной деформации

. Работа внешних сил на части поверхности волокна (/ — длина волок­