2814
.pdfПроведем оценочные расчеты для органических волокон, полная диаграмма которых приведена в [27], в эпоксидной матрице при следую
щих значениях деформационных характеристик: £>^=180 ГПа,
= Vy = 0,29, Ет =3 ГПа, vm = 035. Вследствие отсутствия информа
ции о коэффициенте Пуассона органоволокна на стадии закритического деформирования, его значение в одном из рассматриваемых случаев при мем равным значению этой характеристики на стадии упругой деформа ции. Результаты расчетов представим в виде зависимости минимального значения характеристики жесткости нагружающего устройства, необходи мого для реализации закритического деформирования волокон, от их объ емной доли в композите (рис 7). Условие Адамара [35] накладывает допол нительное ограничение на коэффициент поперечной деформации: v < - l .
Однако, если принять, например, v£ = -1 3 , то граница области устойчи
вой закритической деформации на рис. 7 изменится незначительно.
R', ГПа
Рис. 7. К оценке устойчивости закритического деформирования волокон в композите при одноосном растяжении
Величина R*, использованная при выводе условия устойчивости, в случае растяжения образца из волокнистого композита на испытательной машине связана с ее жесткостью RM формулой Rr= RM 1/F, в которую
входят размеры рабочей зоны образца: длина / и площадь поперечного се чения F. Устойчивое закритическое деформирование волокон в композите может быть реализовано при одноосном растяжении образцов на сущест вующих испытательных машинах. Естественно, что с точки зрения исполь зования прочностных ресурсов материала зона устойчивой закритической деформации волокон (на рис. 7 — заштрихована) является предпочтитель ной.
6. Закономерности механического поведения композитов, связанные с закритическим деформированием однонаправленно армированных слоев
Рассмотрим симметричную систему слоев, находящуюся в условиях плоского напряженного состояния. Пусть координатные оси х, ( i =1, 2, 3) связаны с направлением укладки волокон в однонаправленно армирован ном слое. Ось х1 совместим с направлением волокон. Ось х2 лежит в плос кости слоя перпендикулярно волокнам, а ось х3 ортогональна плоскости армирования.
Для каждого из ортотропных слоев определяющие соотношения мо гут быть записаны в дифференциальном виде
а г п |
_ dou |
dc22 |
----- v 12 —^— = |
||
£iv12 = £2v21,
Лтц = £i(cfeu + vI2cfe22), doи —2GI2rfe12,
d a л
'2 к"
й?ст22 = £ 2( Л 22 + У2|й?Бц), |
(46) |
Ei = V 0 ~ V12V 2I ), E2 =E2/(1- V12V 2i),
где El9 E2 и Gu — касательные модули, v12 и v21 — коэффициенты Пу ассона или их аналоги при неупругом деформировании.
Введем также ортогональную систему координат ха , и ху таким образом, чтобы ось ху совпадала с осью х3, а ось х{ армированного слоя составляла с осью ха некоторый угол, называемый углом армирования.
Пусть в рассматриваемом слоистом композите каждому слою с углом армирования +ф соответствует слой с углом армирования - ф . Физиче ские соотношения, связывающие приращения средних нагфяженнй сим метричной пары слоев с соответствующими приращениям# деформаций, имеют вид
d(Jajoi ~ A l deaa + ^12^е рр>
РР = A ldzaa +d422depp, daap ~ ^-A33dzар,
где
£(Х " A i ~ ^ |
2/^22 > ^ 0 - ^22 ~ ^12 A l l > |
v ap = A l / A l |
> VPa = A U ! A 22 > & а0 = ^33* |
Поскольку определяющие соотношения в приращениях для неупру гих материалов по форме совпадают с уравнениями теории упругости, то при определении эффективных характеристик, точнее их текущих значе ний, соответствующих данным напряжениям и деформациям, воспользу емся формулами, полученными из рассмотрения упругих слоистых компо зитов [3]:
Ап =Ёxcos4q>+ |
+ 2(£1v12 + 2G12)sin2cp cos2(p, |
Л12 = Exvn + \ЕХ+ £ 2 ~2(£1V12 + 2G12)]sin2cp cos2cp, |
|
|
(49) |
A22 = £’isin4cp + E2cos4(p+ 2 (£ 1V 12 + 2G12)sin2cp cos2(p, |
|
A33 = (Ex+ E2 - |
2£1v12)sin2cp cos2(p + G12cos22<p. |
С использованием приведенных формул определим условия закритического деформирования слоев, связанного с постепенным разрушением связующего, в результате которого образуются трещины, параллельные во локнам. Это явление называется нарушением монолитности слоя и во мно гих случаях не приводит к разрушению слоистого материала, так как во локна продолжают воспринимать нагрузку [3].
Характер сопротивления слоя в условиях образования трещин иссле дован в монографии [24]. Опираясь на экспериментальные данные о де формировании оболочек, образованных методом намотки, авторы этой ра боты рассмотрели некоторые возможные феноменологические модели слоя. Сравнивалась модель, согласно которой после появления первой сис темы трегДин слой не воспринимает нагрузку, с моделью, основанной на предположении о сохранении достигнутого уровня напряжений в слое в процессе сто растрескивания.
Авторы [24] пришли к выводу, что вторая модель является более удовлетворительной. Тем не менее, расчетно-экспериментальная диаграм-
ма деформирования поврежденного слоя, на анализе которой базируется последнее заключение о пригодности модели идеально пластического тела, имеет явные ниспадающие участки и снижается до нуля. Это дает основа ние для предположения, что модель разупрочняющегося тела в данном случае является более адекватной.
Ограничимся рассмотрением случая, когда при образовании системы плоских трещин, ориентированных перпендикулярно одной оси, разупроч нение материала, связанное с растяжением в направлении этой оси, возни кает прежде, то есть при меньшей степени поврежденности, чем разупроч нение при сдвиге.
В связи с этим, определяющие соотношения на начальной стадии закригической деформации слоя получим путем замены в уравнениях (46) величин Е2 и V12 на взятые с отрицательным знаком модуль разупрочне
ния D1E и коэффициент поперечной деформации VUD :
& _ ^a ll v |
dc22 |
dc |
22 |
do i |
aZ\\ ~ — -----v12£> |
Z> |
d&22 — ~D |
|
-Vn21' |
|
2E |
2E |
(50) |
|
don = 2Gnds
12u&12>
Штрихом помечены характеристики поврежденного материала. Рассматри ваемый механизм повреждения не приводит к существенному изменению модуля Е1.
Коэффициент v12 определяет величину приращения линейной де формации еп вследствие приращения нормальных напряжений а 22. Из менение знака этого коэффициента на закритической стадии деформирова ния согласно условию симметрии
^ lv12D = ^2Ev 2l
вызвано тем, что приращение деформации s 22 происходит, в основном, за счет образования внутренних разрывов в матрице, а уменьшение растяги вающих напряжений а 22 и, следовательно, поперечной нагрузки на волок на приводит к уменьшению продольного сокращения армированного слоя, то есть к положительному приращению деформации еи .
С целью выявления структурных особенностей перекрестно армиро ванных слоистых композитов, связанных с возможностью реализации рав новесного режима разрушения матрицы и разупрочнения слоев в трансвер сальном направлении благодаря сдерживающему влиянию волокон каждо го соседнего слоя, исключим влияние системы нагружения и рассмотрим наиболее неблагоприятный для реализации закритической стадии дефор мирования случай мягкого нагружения.
При мягком нагружении жесткость нагружающей системы равна ну лю (Ry = 0), а условие устойчивости процесса закритической деформации
(3) с учетом того, что структурные деформации е ^ , |
и еар для слои |
стых композитов равны макроскопическим, сводится к требованию поло жительной определенности квадратичной формы для матрицы эффектив ных касательных модулей при плоском напряженном состоянии:
Данное неравенство устанавливает пределы изменяемости коэффи циентов аналогично тому, как положительность упругого потенциала опре деляет допустимые значения упругих постоянных ортотропных материалов [1, 40]. Удовлетворение указанного требования обеспечивается неравенст вами
M12I < V^ 11^22 > |
> 0» А22 > 0, Ау$ > 0, |
(52) |
|усф| < л/Лг/Ль |
|vP<x| < |
(53) |
Е*а > о, е ; > о, |
|
|
G ; P > O. |
|
Ограничимся рассмотрением материалов, обладающих положитель ными коэффициентами Пуассона,
0 < уоф < |
^ < vpa < |
0<А12< у1ЛпА22 (54) |
Подставив в уравнения (46) и (49) вместо величин v12 и Е2 взятые со
знаком “минус” коэффициент поперечной деформации и модуль разупроч нения, входящие в определяющие соотношения (50), с использованием не равенств (52) и (54) получим условия устойчивости закритического дефор мирования слоев в трансверсальном направлении в режиме мягкого нагру жения композита, то есть при заданном увеличении макронапряжений:
= |
^пЛ = Еф1 - D2Ea2 —2ab{ExvX2D-2 G I2T|)> |
(55) |
||
А22 = |
А22TJ = Еха2 - D2Eb2 - 2ab(Exvl2D - 2G12T|) > 0, |
(56) |
||
Л 2 = |
^12 Л = |
~D2E + |
2EXV 12D-4G{2TI) - £ ,1V12(0 > 0, |
(57) |
/13з = |
A33r\ = ab(Ex- D2E + |
2Exv X2D) + G{iЛ(я ~ ^)2 > 0> |
(58) |
|
AabG[2vi{El - D2E - 2£\v12D) - ExD2E{a2- b2j - £i2v22D(a “ b)2 > 0, (59)
raen = sin2cp, 6= cos2cp, Л = 1 + vi2Dv2i-
Согласно сделанному предположению, величины D 2E и v 11D изме
няются в одинаковой степени, коэффициент поперечной деформации v21
остается постоянным, а модуль сдвига в процессе накопления повреждений снижается медленнее, чем модуль Еъ является положительным в момент
начала закритической стадии деформирования и остается таковым до дос тижения параметром разупрочнения значения X = 1.
Зависимости максимально допустимых значений параметра Х = ХС
от угла армирования ф для указанных материалов приведены на рис. 8.
Как следует из условий (55)—(59), при всех значениях параметра разупроч нения от нулевого до максимально допустимого имеет место устойчивое закритическое деформирование армированных слоев при любом плоском напряженном состоянии композита.
Таким образом, установив экспериментальным или расчетным путем значение параметра разупрочнения X для конкретного материала, можно с использованием полученных зависимостей определить допустимый диапа зон углов армирования, при которых X < Хс и, следовательно, обеспечива
ются условия для закритического деформирования слоев.
7. Напряженно-деформированные состояния волокнистых композитов на стадии закритического деформирования матрицы
Рассмотрим результаты численного решения задачи о закритическом деформировании волокнистого композита тетрагональной периодической структуры с упругими волокнами и упругопластической матрицей при на гружении в поперечной плоскости. Краевая задача для ячейки периодично сти, состоящая из уравнений равновесия
daV J=0 |
|
(60) |
при отсутствии массовых сил, геометрических соотношений |
|
|
dzv = \ |
|
(6J) |
2 |
|
|
определяющих уравнений |
|
|
dOjj —Cjjmn{lmnpq “ X^mnpq pq >^klmn = ? |
ln + ®^ /m) |
(^2) |
для матрицы при активном нагружении (х = 1) и линейных соотношений связи приращений напряжений и деформаций для волокна и при разгрузке матрицы (х = 0), а также граничных условий
d«i|г = dZijYj,
решалась методом конечных элементов в сочетании с методом дополни тельных напряжений при пошаговом пропорциональном изменении зада ваемых макродеформаций е,у.
Упругие константы компонентов |
были выбраны следующими: |
||
G = 2,1 ГПа, |
v = 0,25 для матрицы и G - 10,5 ГПа, v=025 для волокна. С |
||
помощью функций поврежденности |
|
|
|
= |
fimn +032(5*тя5/л + 8ь б/т), |
(63) |
|
входящих в уравнения (62), которые в данном случае приобретают вид |
|||
°,j = И |
1 - к ) ^ тя +2G (l-g)H iJmn]snm, |
|
|
^ijkl ~ |
tfi к]> Нjjki —Iум ~ Vjjirf, К |
3(01 + 2©2 , |
g —2(0j , |
неупругие свойства материала матрицы описывались нелинейной зависи мостью второго инварианта тензора напряжений от соответствующего ин-
38
варианта тензора деформаций. Значения инвариантов определялись по
формулам |
____ |
j f }= |
и J *2)= |
Графическое выражение этой зависимости приведено на рис. 9 Подобные диаграммы деформирования были получены, в частности, при проведении экспериментов на образцах полиэтилена и сплава ВТ5-1.
А2), МПа
Рис. 9. Диаграмма деформирования материала матрицы
Зависимость между первыми инвариантами тензоров напряжений
Jo* ~ з |
и деформаций ]jp = e# материала матрицы задавалась в виде |
|
функции |
|
|
|
зк№ , |
; « * 0 v A » < £ > ; |
|
.(2) _ |
,(2) |
Jo |
Je |
Jef |
= |
(i| A ” > » * £ > * & : |
|
/® |
|
|
|
Jz cr |
Jzf |
|
о. |
Aa *A?; |
соответствующей модели деформирования, согласно которой разупрочне ние по первому инварианту имеет место при положительных значениях
У «, начинается, когда величина |
достигает своего критического значе- |
|
ния Уест, и заканчивается полным разрушением при |
= jjp Величина, |
|
определяющая интенсивность этого процесса, в данном случае была задана соотношением К = ОДТ
Было принято также, что волокна в поперечном сечении являются эллипсоидальными, а ось хп ортогональной системы координат располо жена вдоль большой оси эллипса.
Рис. 10. Напряженное состояние волокнистого композита
при деформации в поперечной плоскости (е[L= -2,82 • 10 ”3, = 2,82 • 10 “3 );
а— зоны неупругого деформирования матрицы:
—зона пластичности, 1 i ! I i-H-M— зона начальной закритической деформации, ЕЙЯЯЛ — зона развитой закритической деформации,
б, в, г — соответственно изолинии напряжений о п , о 22 и а 12, отнесенных к пределу прочности матрицы
Рассмотрим результаты расчета напряженно-деформированных со стояний композиционных материалов с объемными долями волокон p f =0,2 (рис.10, 11) и 0,4 (рис. 12, 13) на стадии закритического деформи
рования матрицы. На рис.10 и 12 для симметричной части ячейки перио дичности показаны характерные зоны деформирования и изолинии полей напряжений, отнесенных к пределу прочности матрицы. Деформирование материала в пределах зоны пластичности соответствует участку А В , а в