Методика решения задачи

Геометрически данную задачу можно проиллюстрировать сле­ дующим образом (рис. 3.4). Зависимости спроса от цены dip) и пред­ ложения от цены s (р) являются линейными и представляются на рис. 3.4 прямыми линиями. Соотношение (3.10) определяет точку пересечения Р данных прямых, которую можно было бы назвать точкой сбалансированности рынка, или его равновесия.

В данном случае соотношения (3.8) и (3.9) рассматривались как непрерывные в зависимости от цены р. Однако процесс изменения цены на протяжении ряда лет образует дискретную последователь­ ность величинPQ,P\, P2 , .... которую, собственно, и необходимо най­ ти при решении данной задачи. Определять искомую последователь­ ность будем следующим образом.

Рис. 3.4. Схема к постановке задачи

Подставляя (3.8) и (3.9) в (3.10), получим

а р „ -Ь = - срп+1 + g.

Проведя преобразования и введя новые положительные константы

Уравнение (3.11) представляет собой линейное рекуррентное со­ отношение, которое позволяет построить последовательность ин­

Так как нас интересует функциональная зависимость рл(р0), рассмотрим следующую схему решения. Будем искать л-е решение в виде суммы решения однородного уравнения

или в общем случае рп = С(-А)п

Частное решение неоднородного уравнения: исходя из вида пра­ вой части (3.12) решение будем искать в виде константы рп = Ддля всех я. Подставим в (3.12) и получим D + AD = 5 или D= В/{А+\).

Следовательно, общее решение (3.12) имеет вид

Из (3.8) при л = 0 получим

Подставив (3.15) в (3.14), найдем окончательное решение зада­ чи в виде

Анализ результатов

При рассмотрении соотношения (3.16) можно выделить три характерные области значений А:

1) 0 < А < 1. Модуль (—А)п с увеличением л стремится к нулю,

следовательно, рп -» В/(А +1). Этот результат можно изобразить

графически, построив зависимости функций sn+l и dn+l от цены рп (рис. 3.5).

Проанализируем полученные результаты. Начнем с цены pQ. Точка на графике s (р), соответствующая р0, дает значение 5j. Дви­ гаясь горизонтально, находим значение dt, т.е. выполняем условие dl = Sj. Цена, соответствующая dlf равнар j. Этой цене в свою оче-

Рис. 3.5. Иллюстрация к решению задачи (0 <Ак. })

редь соответствует предложение s2. Выполняя условие d2 — s2, дви­ гаемся горизонтально и находим d2. Процесс продолжается до стя­ гивания полученной «паутины» к цене В/(А +1), соответствующей пересечению графиков s(p) и d(p).

2) А =1. В этом случае уравнение (3.16) примет вид

рп =р0(-1)п + В[1-(-1)п]/2.

Следовательно:

рп = — р0 + В, если п — нечетное; рп = р0, если п —четное.

Геометрически эта ситуация показана на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Геометрическая иллюстрация решения задачи при А = 1 (а) и А > 1 (б)

3) А> 1. Из уравнения (3.16) видно, что с возрастанием п рас­ тет амплитуда колебаний рп. Графически это показано на рис. 3.6Д

Из рассмотренных трех случаев первый соответствует устойчи­ вомуравновесию, т.е. сбалансированному рынку, когда спрос соот­ ветствует предложению. Во втором случае получили неустойчивое